Quantentheorie II - FIAS

6.1 · Relativistische Raumzeitstruktur und Lorentzgruppe
Die Vektoren x ∈ 4 fallen in drei Klassen:
⎧
⎪⎨ > 0 zeitartig,
x · x =: x 2 = 0 lichtartig,
⎪ ⎩
< 0 raumartig.
(6.1.10)
Eine lineare Transformation des Minkowskiraums, der die Fundamentalform zwischen beliebigen Vektoren
invariant läßt, heißt Lorentztransformation. Wie jede lineare Abbildung wird eine Lorentztransformation
bzgl. einer Basis durch eine Matrix (Λ µ ν ) repräsentiert, d.h. die kontravarianten Komponenten
eines Vektors transformieren sich gemäß
x ′µ = Λ µ ν xν . (6.1.11)
Damit nun die Minkowskiprodukte zwischen beliebigen Vektoren ungeändert bleiben, muß gelten
g µν x ′µ y ′ν = g µν Λ µ µ ′Λν ν ′ xµ′ y ν′ = g µ ′ ν ′ xµ′ y ν′ (6.1.12)
gelten. Da wir dies für beliebige x, y ∈ 4 verlangen, ist also notwendig
Dafür können wir auch
g µν Λ µ µ ′Λν ν ′ = g µ ′ ν ′. (6.1.13)
(g µν Λ µ µ ′ g µ′σ )Λ ν ν ′ = Λ ν σ Λ ν ν ′ = δσ ν ′ (6.1.14)
schreiben. Dies bedeutet, daß eine Lorentztransformation invertierbar ist und
sein muß. In Matrix-Vektorschreibweise bedeutet dies
(Λ −1 ) µ ν = Λ ν µ (6.1.15)
Λ −1 = gΛ t g, (6.1.16)
Wobei wir Lorentztransformationsmatrizen immer als diejenige Form verstehen, wo der erste Index
oben und der zweite Index unten stehen. Offenbar beschreibt umgekehrt auch jede Matrix Λ, die
(6.1.16) erfüllt, eine Lorentztransformation.
Daraus folgt auch das Transformationsverhalten für die kovarianten Komponenten eines Vektors. Es
gilt nämlich
x ′ µ = g µν x′ν = g µν Λ ν ρ xρ = g µν Λ ν ρ g ρσ x σ = (gΛg) µ σ x σ = x σ (gΛ t g) σ µ
(6.1.16)
= x σ (Λ −1 ) σ µ . (6.1.17)
Man sagt dazu auch, daß sich die kovarianten Komponenten kontragredient zu den kontravarianten
Komponenten transformieren.
Entsprechend bezeichnet man Ausdrücke der Art T µ ν σ als Tensoren (3. Stufe). Ihr Transformationsverhalten
entspricht dem von kontra- und kovarianten Vektorkomponenten, entsprechend der oberen
bzw. unteren Stellung der Indizes. Für den Tensor 3. Stufe gilt also z.B.
T ′µ′ ν ′ σ ′ = Λ µ′ µ (Λ−1 ) ν ν ′ Λ σ′ σ T µ ν σ . (6.1.18)
Die Lorentztransformationen mit der Hintereinanderausführung (entsprechend der Matrixmultiplikation
der dazugehörigen Matrizen) bilden eine Gruppe, denn mit zwei Lorentztransformationen Λ 1
und Λ 2 ist auch Λ 1 Λ 2 eine Lorentztransformation, denn wegen g 2 = 1 ist
g(Λ 1 Λ 2 ) t g = gΛ2 t Λt 1 g = (gΛt 2 g)(gΛt 1
g) = Λ−1
2 Λ−1 = (Λ
1 1 Λ 2 ) −1 , (6.1.19)
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