Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 5 · Vielteilchensysteme wechselwirkender Teilchen
5.1.3 Das optische Theorem
Aus der Definition des Streuoperators gemäß (5.1.31) folgt unmittelbar dessen Unitarität. Daraus ergibt
sich eine weitreichende Folgerung über den totalen Streuquerschnitt. Um diese zu finden, setzen
wir (5.1.37) in die Unitaritätsbedingung ein und erhalten
oder
1 Fock = SS † = (1 Fock + iT)(1 Fock − iT † ) = 1 Fock + i(T − T † ) + TT † (5.1.57)
TT † = −i(T − T † ). (5.1.58)
Daraus können wir eine Folgerung über die Zweiteilchenstreuung ziehen, indem wir diese Gleichung
von links mit − 1 ′ 2 ′ und von rechts mit |12〉 − multiplizieren. Dabei haben wir zur Abkürzung
|12〉 − := −
⃗p 1 ,σ 1 ; ⃗p 2 ,σ 2 geschrieben. Dann folgt durch Einschieben eines Identitätsoperators 1Fock für
die linke Seite
− 1 ′ 2 ′ TT
† −
∞∑ ∑
∫
12 = d1
′′ ···dN ′′ −
1 ′ 2 ′ 1 T ′ 2 ′ ...N ′ − − 1 ′′ 2 ′′ ...N ′′ T
† −
12 . (5.1.59)
N=0
Dabei steht das kombinierte Summen-Integralzeichen für die Integration über die Impulse ⃗p ′′
und die
j
Summation über die Spin-z-Komponenten σ ′′ ( j ∈ {1,...,N}). Setzen wir darin (5.1.38) ein, folgt
j
− 1 ′ 2 ′ TT
† −
∞∑ ∑
∫
12 = d1
′′ ···dN ′′ (2π) 2 δ (4) [ p
1 ′ + p′ 2 − ( p′′ 1
+ ··· + p′′
N )]
N=0
(5.1.60)
× δ (4) [ p
1 ′ + p′ 2 − ( p 1 + p 2 )] ∗ 1 ′ 2 ′ ←1 ′′ 2 ′′ ...N
′′ 12←1 ′′ 2 ′′ ...N ′′.
Für die rechte Seite von (5.1.58) erhalten wir
N=0
−i − 1 ′ 2 ′ T − T
† −
12 = −2πiδ (4) [ p
1 ′ + p′ 2 − ( p 1 + p 2 )]( 1 ′ 2 ′ ←12 − ∗ 1 ′ 2 ′ ←12
). (5.1.61)
Setzen wir also (5.1.60) und (5.1.61) gleich, können wir die gemeinsame δ-Distribution kürzen und
1 ′ 2 ′ − = |12〉 − setzen. Dann folgt aber
∞∑ ∑
∫
d1
′′ ···dN ′′ (2π) 2 δ (4) [ p
1 ′ + p′ 2 − ( p′′ 1
+ ··· + p′′
N )]| 12←1 ′′ 2 ′′ ...N ′′|2 = 4π Im 12←12 . (5.1.62)
Auf der linken Seite dieser Gleichung steht nun in naheliegender Verallgemeinerung von (5.1.45) auf
beliebige Streuprozesse 12 → 1 ′′ ...N ′′ bis auf einen Faktor v rel /(2π) 2 der totale Streuquerschnitt für
die Streuung zweier Teilchen, wobei alle Prozesse, also elastische und (in allgemeineren Modellen, die
Teilchenerzeugung und -vernichtung erlauben) inelastische, berücksichtigt werden. Dies liefert dann
das optische Theorem in der Form [Fee32]
v rel σ tot = 2(2π) 3 Im 12←12 . (5.1.63)
Auf der rechten Seite kommt dabei der Imaginärteil der Streuamplitude für elastische Vorwärtsstreuung
zu stehen.
Die Herleitung zeigt, daß der Term auf der rechten Seite von (5.1.63) durch die Interferenzterme beim
Ausmultiplizieren von (5.1.57) zwischen der Möglichkeit, daß die Teilchen ungestreut aneinander vorbeilaufen
(repräsentiert durch den Einsoperator 1 Fock in der Streumatrix cf. (5.1.37)) und dem Fall,
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