Quantentheorie II - FIAS

Anhang A
Gaußintegrale
Die Gaußsche Wahrscheinlichkeitsverteilung spielt sowohl in der mathematischen Statistik als auch der
Physik eine wichtige Rolle. Daher werden häufig Integrale über Gaußverteilungen benötigt. In diesem
Anhang leiten wir einige der wichtigsten damit zusammenhängenden Formeln her.
A.1 Das eindimensionale Gaußintegral
Wir beginnen mit der Berechnung des Integrals
∫ ∞
I = dx exp(−x 2 ).
−∞
Es läßt sich mit folgendem Trick geschlossen auswerten. Dazu schreiben wir
∫ ∞
∫ ∞
∫
I 2 = dx exp(−x 2 ) dy exp(−y 2 ) = d 2 x exp(−⃗x 2 ).
−∞
−∞
2
(A.1.1)
(A.1.2)
Substituieren wir darin Polarkoordinaten ⃗x = r (cosϕ,sinϕ), d 2 x = r dr dϕ, erhalten wir
I 2 =
∫ 2π
dϕ
∫ ∞
0 0
dr r exp(−r 2 ) = −2π 1 2 exp(−r 2 )
∞
r =0
= π. (A.1.3)
Da I > 0, folgt also
I = π.
(A.1.4)
Dieses Resultat können wir nun verwenden, um auch das allgemeinere Integral
∫ ∞
I (a, b) = dx exp(−ax 2 + b x), a, b ∈ (A.1.5)
−∞
zu berechnen. Damit das Integral konvergiert, muß offenbar Re a > 0 sein. Mit einer quadratischen
Ergänzung folgt zunächst
b
2
∫ ∞
I (a, b) = exp
4a
dx
−∞
247
−a x − b 2
. (A.1.6)
2a