Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 4
Vielteilchensysteme aus freien Teilchen
In diesem Kapitel wenden wir uns der Theorie von Systemen aus gleichartigen, d.h. ununterscheidbaren
Teilchen zu. Während in der klassischen Physik Teilchen schon dadurch stets voneinander unterscheidbar
bleiben, daß man sie durch ihre jeweiligen Anfangspositionen und -impulse kennzeichnen
kann, ist es in der Quantentheorie unmöglich, über längere Zeiträume individuelle Teilchen voneinander
zu unterscheiden, es sei denn sie unterscheiden sich durch eine intrinsische Eigenschaft voneinander,
d.h. z.B. durch ihre Masse, ihren Spin oder diverse Ladungsquantenzahlen.
4.1 Ein System von zwei ununterscheidbaren Teilchen
Wir betrachten als erstes zwei ununterscheidbare Teilchen mit Spin s ∈ {0,1/2,1,...}. Zunächst ist eine
Basis dieses Systems durch die Produktzustände
|ξ 1 ,ξ 2 〉 = |ξ 1 〉 ⊗ |ξ 2 〉, (4.1.1)
wobei wir mit ξ k = (⃗x k ,σ k ) bezeichnen, wobei ⃗x k Orts- und Spin-z-Komponente des k-ten Teilchens
sind. Wir arbeiten hier im Schrödingerbild, wo die als Basisvektoren dienenden Eigenvektoren von
(nicht explizit zeitabhängigen) Observablenoperatoren zeitunabhängig sind. Wir definieren nun den
Permutationsoperator
2 |ξ 1 ,ξ 2 〉 := |ξ 2 ,ξ 1 〉. (4.1.2)
Dieser Operator ergibt für identische Teilchen einen Sinn, weil die Einteilchenzustände in diesem Falle
im gleichen Hilbertraum 1 liegen. Der Permutationsoperator wird nun auf den gesamten Produktraum
2 = 1 ⊗ 1 linear fortgesetzt. Da die Produktzustände (4.1.1) eine vollständige Basis von
2 bilden, bedeutet das
∫
2 |Ψ〉 =
dξ 1
∫
dξ 2 |ξ 2 ,ξ 1 〉〈ξ 1 ,ξ 2 |Ψ 〉
Es ist klar, daß 2 selbstadjungiert ist und daß
gilt. Damit ist also 2 auch unitär.
mit
∫
dξ 1 :=
s∑
σ 1 =−s
∫
3 d 3 x 1 . (4.1.3)
2
2 = 1 (4.1.4)
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