Quantentheorie II - FIAS

2.1 · Die Galileigruppe in der Newtonschen Mechanik
Wirkung der Drehung auf die Komponenten des Ortsvektors wie folgt: Die Projektion auf die Richtung
der Drehachse ⃗x ‖ = ⃗n(⃗n · ⃗x) bleibt ungeändert, während der dazu senkrechte Anteil ⃗x ⊥1 = ⃗n × ⃗x und
⃗x ⊥ = (⃗n × ⃗x) × ⃗n = ⃗x − ⃗x ‖ um den Winkel φ gedreht wird. Die Einheitsvektoren ⃗ b 1 = ⃗x ⊥ /|⃗x ⊥ |,
⃗b 2 = ⃗n × ⃗x/|⃗n × ⃗x| und ⃗n bilden offenbar ein rechtshändiges kartesisches Basissystem, und folglich
lautet die Drehung
⃗x ′ = ˆR( ⃗ φ)⃗x = ⃗n(⃗n · ⃗x) + cosφ(⃗n × ⃗x) × ⃗n − sinφ ⃗n × ⃗x. (2.1.8)
Es ist klar, daß auch die Drehungen eine Gruppe bilden. Es ist die Gruppe der reellen speziellen orthogonalen
3x3-Matrizen SO(3). Dies sind die reellen 3 × 3-Matrizen, für die
ˆR ˆR T = 1 3 und det ˆR = 1 (2.1.9)
gilt. Das inverse Element zu ˆR( φ) ⃗ ist offenbar ˆR(−φ), ⃗ und das neutrale Element der Gruppe ist ˆR(0) =
1 3 . Da Drehungen um verschieden gerichtete Drehachsen nicht kommutieren, ist hier auf die Reihenfolge
der Drehungen zu achten.
Es ist bequem, die Drehungen und die Boosts in eine 4 × 4-Matrix
Γ ( ⃗w, ˆR) 1 0
:=
− ⃗w ˆR mit ˆR ∈ SO(3) (2.1.10)
zusammenzufassen. Für ˆR ≠ 1 3 entspricht dies der Hintereinanderausführung einer Drehung gefolgt
von einem Galileiboost mit Geschwindigkeit ⃗w. Hierbei ist auf die Reihenfolge der Operationen zu
achten, denn die Drehungen und die Boosts bilden zwar eine Gruppe, aber Drehungen und Boosts
vertauschen i.a. nicht miteinander! Die Matrizen (2.1.10) bilden die Boost-Dreh-Gruppe, denn die
Hintereinanderausführung zweier solcher Transformationen ergibt
Γ ( ⃗w 2 , ˆR 2 )Γ ( ⃗w 1 , ˆR 1 0
1 ) =
−( ⃗w 2 + ˆR = Γ ( ⃗w
2
⃗w 1 ) 2 + ˆR 2
⃗w 1 , ˆR 2 ˆR1 ). (2.1.11)
ˆR2 ˆR1
Man bezeichnet diese Symmetriegruppe der Galilei-Newtonschen Raum-Zeit auch als homogene Galilei-Gruppe,
denn sie ist eine lineare Abbildung des Raum-Zeit-Vektors (t, ⃗x). Nehmen wir auch noch
die Raum-Zeit-Translationen hinzu, indem wir die Wirkung einer solchen aus Boosts, Translationen
und Drehungen kombinierten Transformation auf die Raum-Zeit-Vektoren durch
Γ ( ⃗w,α, ⃗a, ˆR)
t
⃗x
=
t − α
D ⃗x − ⃗w t − ⃗a
(2.1.12)
definieren, haben wir schließlich die volle Galilei-Gruppe konstruiert. Für die Hintereinanderausführung
zweier solcher Transformationen ergibt sich
Γ ( ⃗w 2 ,α 2 , ⃗a 2 , ˆR 2 )Γ ( ⃗w 1 ,α 1 , ⃗a 1 , ˆR 1 ) = Γ ( ˆR 2
⃗w 1 + ⃗w 2 ,α 1 + α 2 , ˆR 2
⃗a 1 + ⃗a 2 − ⃗w 2 α 1 , ˆR 2 ˆR1 ). (2.1.13)
Die inverse Transformation zu Γ ( ⃗w,α, ⃗a, ˆR) folgt aus der Forderung
Γ ( ⃗w ′ ,α ′ , ⃗a ′ , ˆR ′ )Γ ( ⃗w,α, ⃗a, ˆR) = Γ (0,0,0,1 3 ). (2.1.14)
Mit der Gruppenmultiplikationsregel (2.1.13) folgt daraus das Gleichungssystem
ˆR ′ ⃗w + ⃗w ′ = 0, α + α ′ = 0, ˆR′ ⃗a + ⃗a ′ − ⃗w ′ α = 0, ˆR′ ˆR = 13 . (2.1.15)
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