Quantentheorie II - FIAS

2.7 · Nichtrelativistische Elementarteilchen
ist. Wir zeigen nun, daß die Matrizen D σ ′ σ ( φ) ⃗ := D σ ′ σ (⃗p = 0, φ) ⃗ eine unitäre Darstellung der Drehgruppe
bilden müssen und daß dann auch die Wirkung von Drehungen auf beliebige Eigenvektoren
⃗p,σ durch diese Darstellung bestimmt ist. Dazu wenden wir (2.7.16) wie folgt auf die Hintereinanderausführung
zweier Drehungen
an:
exp(i ⃗ φ 3 · ⃗J) = exp(i ⃗ φ 2 · ⃗J)exp(i ⃗ φ 1 · ⃗J) (2.7.17)
exp(i ⃗ φ 3 · ⃗J) ⃗p = 0,σ = ∑ σ ′′ D σ ′′ ,σ ( ⃗ φ 3 ) ⃗p = 0,σ ′′ !
= exp(i ⃗ φ 2 · ⃗J)exp(i ⃗ φ 1 · ⃗J)|0,σ〉
= ∑ σ ′ D σ ′ σ ( ⃗ φ 1 )exp(i ⃗ φ 2 · ⃗J) 0,σ ′ = ∑ σ ′ ,σ ′′ D σ ′′ σ ′( ⃗ φ 2 )D σ ′ σ ( ⃗ φ 1 ) 0,σ ′′
= ∑ σ ′′ ˆD( ⃗ φ2 ) ˆD( ⃗ φ 1 ) σ ′′ σ
0,σ ′′ .
(2.7.18)
Dies verlangt aber in der Tat die Darstellungseigenschaft
ˆD( ⃗ φ 3 ) = ˆD( ⃗ φ 1 ) ˆD( ⃗ φ 1 ). (2.7.19)
Falls wir also nichttriviale Darstellungen der Drehgruppe finden können, was wir im nächsten Abschnitt
zeigen werden, transformieren sich Impulseigenzustände zum Impulseigenwert ⃗p = 0 unter
Drehungen unter eben dieser nichttrivialen Darstellung. Wir interpretieren diese der klassischen Physik
fremde Eigenschaft, daß sich die Zustände eines ruhenden freien elementaren Teilchens unter Drehungen
ändern können, dadurch, daß wir den durch diese Strahldarstellung der Galilei-Gruppe beschriebenen
Teilchen eine zum Drehimpuls gehörige innere Quantenzahl zuschreiben, die als Spin
bezeichnet wird. Dieser Name geht auf die etwas heikle Vorstellung zurück, daß Elementarteilchen
neben den drei Translationsfreiheitsgraden eine Art inneren Drehimpuls in Analogie zum Drall eines
ausgedehnten starren Körpers besitzen. Dies ist insofern problematisch als wir Elementarteilchen als
punktförmig ansehen, da es physikalisch keinen Sinn ergibt, ihnen aufgrund der quantentheoretischen
Beschreibung überhaupt eine Art von Ausdehnung zuzuordnen.
Nun können wir die Wirkung einer Drehung auf beliebige Basisvektoren ⃗p,σ bestimmen. Dazu
schreiben wir
exp(iφ ⃗ · ⃗J) ⃗p,σ
= exp(iφ ⃗ · ⃗J)exp i ⃗p
m · ⃗K ⃗p = 0,σ
= exp(iφ ⃗ · ⃗J)exp i ⃗p exp(−i
m · ⃗K φ ⃗ · ⃗J)exp(i φ ⃗ · ⃗J) ⃗p = 0,σ (2.7.20)
Nun gilt
exp(iφ ⃗ · ⃗J)exp i ⃗p
m · ⃗K exp(−iφ ⃗ · ⃗J) = exp i ⃗p
⃗K ′ ( φ) ⃗ m
(2.7.21)
mit
⃗K ′ ( ⃗ φ) = exp(i ⃗ φ · ⃗J) ⃗ Kexp(−i ⃗ φ · ⃗J) = ˆR −1 ( ⃗ φ) ⃗ K, (2.7.22)
wobei die letzte Gleichung genauso herzuleiten ist wie die entsprechende Gleichung (2.7.14) für den
Impulsoperator. Verwenden wir zuerst (2.7.16) in (2.7.20) und wenden dann nacheinaner (2.7.21) und
(2.7.9) an, erhalten wir
exp(iφ ⃗ · ⃗J) ⃗p,σ = ∑ D σ ′ σ ( ⃗ φ) ˆR( φ)⃗p,σ ⃗ ′ , (2.7.23)
σ ′
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