Quantentheorie II - FIAS

7.4 · Beispiele für QED-Wirkungsquerschnitte
Daraus ergibt sich auch der physikalische Wertebereich für s zu
Der Streuwinkel ist mit t verknüpft durch (Übung!)
s ≥ max[(m 1 + m 2 ) 2 ,(m ′ 1 + m′ 2 )2 ]. (7.4.18)
t = ( p 1 − p ′ 1 )2 = (E 1 − E ′ 1 )2 − (⃗p − ⃗p ′ ) 2 = t 0 − 4P P ′ sin 2 ϑ
2
Daraus ergibt sich der größte bzw. kleinste Wert für t für ϑ = 0 bzw. ϑ = π zu 5
. (7.4.19)
t 0 = (E 1 − E ′ 1 )2 − (P − P ′ ) 2 =
t 1 = (E 1 − E ′ 1 )2 − (P + P ′ ) 2 =
(m
2
1
− m2 2) − (m′ 2 1
− m
2
′
2 s
(m
2
1
− m2 2) − (m′ 2 1
− m
2
′
2 s
2 )
2 )
2
− (P − P ′ ) 2 ,
2
− (P + P ′ ) 2 .
(7.4.20)
Also ist t bei vorgegebener Schwerpunktsenergie E = s eine monotone Funktion des Streuwinkels
ϑ, so daß man t als invariantes Maß für den Streuwinkel im Schwerpunktssystem auffassen kann.
7.4.2 e + + e − → µ + + µ −
Einer der am einfachsten zu berechnenden Prozesse ist die Paarvernichtung von einem Elektron mit
einem Positron zu einem µ + -µ − -Paar. Dabei betrachten wir nicht zu hohe Energien, so daß wir die
schwache Wechselwirkung vernachlässigen können und nur den dominanten rein elektromagnetischen
Übergang zu betrachten brauchen. Dazu müssen wir nur wissen, daß sich die Muonen im Hinblick
auf die elektromagnetische Wechselwirkung exakt genauso verhalten wie Elektronen und Positronen.
Der einzige Unterschied ist die Masse (m e = 0.511 MeV, m µ = 105.7 MeV).
Wir beginnen mit der Berechnung des invarianten Matrixelements, indem wir das Diagramm entsprechend
den Feynmanregeln in Abb. 7.2 und 7.4 auswerten. Das Diagramm in Abb. 7.5 ist von oben
nach unten und entgegen den Pfeilrichtungen der äußeren Fermionenlinien zu lesen. Dann müssen
wir uns nicht um Dirac-Indizes kümmern, denn es ergibt sich gleich der richtige Ausdruck im Sinne
der Matrix-Vektor-Schreibweise. Es ist klar, daß wir jetzt bei den Dirac-Spinoramplituden zwischen
Elektronen/Positronen bzw. Muonen unterscheiden müssen. Dann ergibt sich
i f i = −iq u(µ, ⃗p ′ 1 ,σ′ 1 )γ µ v(µ, ⃗p ′ 2 ,σ′ 2 ) −ig µν
( p 1 + p 2 ) 2 + i0 + (−iq)v(e, ⃗p 2 ,σ 2 )γ ν u(e, ⃗p 1 ,σ 1 ). (7.4.21)
Dabei ergibt sich der Symmetriefaktor daraus, daß wir einen Vorgang in zweiter Ordnung der Störungstheorie
betrachten (Faktor 1/2! = 1/2). Beim Quadrieren des Wechselwirkungs-Hamilton-Operators
entsteht ein zusätzlicher Faktor 2 aus der binomischen Formel. Die Kontraktionen lassen sich
nur auf eine Weise bilden, da µ und e verschiedene Teilchen sind und an den Vertizes nur jeweils eine
dieser Teilchensorten auftreten kann 6 . Fassen wir (7.4.21) ein wenig zusammen, erhalten wir
f i = e 2 u(µ, ⃗p ′ 1 ,σ′ 1 )γ µ v(µ, ⃗p ′ 2 ,σ′ 2 )v(e, ⃗p 2 ,σ 2 )γ ν u(e, ⃗p 1 ,σ 1 ) g µν
, (7.4.22)
s
5 Wir folgen hier der Bezeichnungsweise in [Nak10].
6 Man mache sich klar, daß ein Wechselwirkungsterm I
= q ′ ψ e
/Aψ µ
, der zwar von der Spinor- und Lorentzstruktur her
Sinn ergibt, aufgrund der von der Eichinvarianz notwendigen Stromerhaltung widerspricht, denn es ergäbe sich ein Beitrag
zum Strom q ′ ψ e
γ µ ψ µ
.
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