Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 5 · Vielteilchensysteme wechselwirkender Teilchen
Dabei bezeichnen die k ⃗ 1,2 , k ⃗ ′ 1,2 , ˜σ 1,2 die Impulse und Spin-z-Eigenwerte, über die in dem Integral für
H W zu integrieren bzw. zu summieren ist. Da die Berechnung solcher Matrixelemente für alle störungstheoretischen
Betrachtungen entscheidend ist, hat sich eine ausgefeilte Rechentechnik entwickelt, um
diese Arbeit erheblich abzukürzen. Die wichtigste Entwicklung ist dabei die Feynman-Diagrammtechnik,
die wir im nächsten Abschnitt entwickeln wollen.
5.1.5 Das Wicksche Theorem und Feynman-Diagramme
Um uns der Berechnung von Vakuumerwartungswerten der Art (5.1.68) zu nähern, bemerken wir als
erstes, daß für alle Vernichtungsoperatoren
und damit auch für alle Erzeugungsoperatoren
a(⃗p,σ)|Ω〉 0
= 0 (5.1.69)
0 〈Ω|a† (⃗p,σ) = 0 (5.1.70)
gilt. Weiter gelten die Antikommutatorregeln (5.1.11) 5 , so daß die Strategie bei der Auswertung der
Vakuumerwartungswerte darin besteht, durch fortgesetzte Anwendung der Antikommutatorregeln
alle Erzeugungsoperatoren nach links und alle Vernichtungsoperatoren nach rechts zu bringen. Ein
solches Produkt von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren nennen wir normalgeordnet, und wegen
(5.1.69) und (5.1.70) verschwinden die Vakuumerwartungswerte aller normalgeordneten Produkte.
Wir führen also die Normalordnungsvorschrift für Produkte von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren
ein, wonach der Ausdruck so umzuordnen ist, daß alle Erzeungsoperatoren ganz links und alle
Vernichtungsoperatoren ganz rechts zu stehen kommen. Dabei wird für fermionische Operatoren das
Vorzeichen der Permutation berücksichtigt, die nötig ist, um das Produkt von der ursprünglichen Reihenfolge
in Normalordnung zu bringen. Falls ein Produkt entweder nur aus Erzeugungs- oder nur
aus Vernichtungsoperatoren besteht, soll die Normalordnungsvorschrift das Produkt unverändert lassen.
Solche Produkte haben offensichtlich stets verschwindende Vakuumerwartungswerte, und zwar
entweder aufgrund von (5.1.69) (im Fall von Vernichtungsoperatoren) oder (5.1.70) (im Fall von Erzeungsoperatoren).
Wir werden nun das Wicksche Theorem [Wic50] beweisen, das die Berechnung der Vakuumerwartungswerte
systematisiert. Dazu betrachten wir zunächst den Fall eines Erzeugungs- und eines Vernichtungsoperators.
Zunächst ist
a 1 a † 2 =
a 1 ,a † †
2 − a
2 a 1 = δ 12 + : a 1 a† :, (5.1.71)
2
wobei ein in Doppelpunkte eingeschlossenes Operatorprodukt die Normalordnung bezeichnet. Bilden
wir also den Vakuumerwartungswert, erhalten wir
a1 Ω a †
0 2Ω = δ 12 . (5.1.72)
0
Im Zusammenhang mit dem Wickschen Theorem bezeichnet man diesen Ausdruck auch als Kontraktion
eines Paares und bezeichnet es mit hochgestellten Punkten an den zu paarenden Operatoren. Es
gilt also
a • 1 a• 2 = a†• 1 a†• 2 = a†• 2 a• 1 = 0, a• 1 a†• 2 = δ 12 . (5.1.73)
5 Für Bosonen gelten entsprechende Kommutatorregeln, und die hier entwickelte Diagrammtechnik funktioniert für Bosonen
genau analog, nur daß die später auftretenden Vorzeichenregelungen für Fermionen wegfallen.
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