Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 1 · Erinnerung an die Quantenmechanik I
Wir wollen noch eine wichtige Darstellung des Propagators mittels dieser Energieeigenzustände herleiten.
Dazu müssen wir nur ψ(t 0 ,α) durch die Wellenfunktion in der Ortsdarstellung ausdrücken:
∫
˜ψ(t 0 ,α) = 〈α, t 0 |ψ〉 = d 3 x ′
α, t 0
⃗x ′
; t 0 ⃗x ′
; t 0 ψ
∫
3
= d 3 x ′ u ∗ E,α (⃗x ′ )ψ(t 0 , ⃗x ′ ).
3
(1.11.13)
Dies in (1.11.10) eingesetzt liefert
∫ ∫
∑dα
ψ(t, ⃗x) = d 3 x ′ u
∗
α (⃗x ′ )u α (⃗x)exp − iE(t − t 0 )
ψ(t
3 ħh
0 , ⃗x ′ ). (1.11.14)
Der Vergleich mit der Definition des Propagators (1.10.10) liefert die gewünschte Darstellung vermittels
Energieeigenzuständen:
∫
∑
U (t, ⃗x; t ′ , ⃗x ′ ) = dα u
∗
α (⃗x ′ )u α (⃗x)exp − iE(t − t 0 )
. (1.11.15)
ħh
Dem Leser sei zur Übung empfohlen, sich davon zu überzeugen, daß dieselben Resultate auch aus dem
Schrödingerbild bzw. überhaupt einem beliebigen Bild der Zeitentwicklung folgen. Im letzteren
Fall werden die Rechnungen allerdings ein wenig komplizierter, da dann sowohl die Zustandsvektoren
als auch die Eigenvektoren von Observablen zeitabhängig werden.
Als Beispiel betrachten wir wieder das freie Teilchen und legen das Heisenbergbild zugrunde. Hier
haben wir gleich mehrere Möglichkeiten der Wahl für einen vollständigen Satz kompatibler Observabler
für die Energieeigenzustände; z.B. können wir die drei Impulskomponenten ⃗p oder E, ⃗ L 2 , L z als
den vollständigen Satz kompatibler Observabler, die auch mit E kompatibel sind, wählen 7 .
Hier verwenden wir die drei Impulskomponenten ⃗p als vollständigen Satz kompatibler Erhaltungsgrößen.
Wegen
H = ⃗p2
2m
sind diese mit H verträglich und folglich zugleich Energieeigenzustände
H ⃗p, t = ⃗p 2
wobei wir die Dispersionsrelation für das freie Schrödinger-Teilchen
2m
(1.11.16)
⃗p, t = E(⃗p) ⃗p, t , (1.11.17)
E(⃗p) = ⃗p 2
2m
(1.11.18)
eingeführt haben. Die Energieeigenfunktionen sind dann freilich einfach die ins Dreidimensionale verallgemeinerten
Impulseigenfunktionen (1.3.11)
⃗x, t ⃗p, t
1 i⃗p · ⃗x
= u ⃗p (⃗x) =
(2πħh) exp . (1.11.19)
3/2 ħh
7 Es ist klar, daß es sich dabei im hier betrachteten Fall eines nicht explizit von der Zeit abhängigen Hamiltonoperators
H um zueinander kompatible Erhaltungsgrößen des Systems handeln muß. Diese kommutieren dann aufgrund der Bewegungsgleichung
(1.9.10) im Heisenbergbild, wo definitionsgemäß X = H (c.f. Gl. (1.10.1)) gilt, mit H.
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