Quantentheorie II - FIAS

4.5 · Gleichgewichtsthermodynamik idealer Gase
Reihe (4.5.32)
N(β,α,V ) = − ∂
∂ α Φ(β,α,V ) = (2s + 1) πV
8π 2
2m
β
3/2
Li 3/2 [exp(−α)]. (4.5.65)
Wie wir oben diskutiert haben, gilt diese Formel allerdings nur für Temperaturen oberhalb des Wertes,
bei dem Bose-Einstein-Kondensation eintritt. Für das Bosegas muß ja α ≥ 0 sein, und Li 3/2 (γ) ist
eine monoton wachsende Funktion, nimmt also ihr Maximum für γ = 1 an. Es ist daher bequem als
kritische Temperatur T c = 1/(k B β c ) diejenige Temperatur zu definieren, für die
N = V ρ B,krit = (2s + 1) πV
8π 2
2m
β c
3/2
Li 3/2 (1)
} {{ }
ζ (3/2)
(4.5.66)
wird. Für noch tiefere Temperaturen (also β > β c ) muß sich dann eine makroskopisch relevante
Anzahl von Teilchen im Grundzustand bei ⃗p = 0 aufhalten. Diese Zahl ist demnach
⎧
⎨N
1 −
T 3/2
für T < T
N BEC =
T c c ,
(4.5.67)
⎩0 für T > T c .
Entsprechend ist für T < T c die Teilchenzahl in angeregten Zuständen
T 3/2
N ∗ = N = (2s + 1) πV
T c 8π 3
2m
β
3/2
ζ (3/2). (4.5.68)
Die innere Energie und damit durch (4.5.29) gegeben, und der Druck ergibt sich dann durch Differentiation
von (4.5.31) zu
3ζ (5/2)
⎧⎪
U = 3 2 pV = − ∂
⎨
∂ β Φ(β,α,V ) = 2ζ (3/2) N ∗ k B T =
⎪ ⎩
3ζ (5/2)
2ζ (3/2)T 3/2
c
N k B T 5/2 für T < T c ,
3Li 5/2 [exp(−α)]
(4.5.69)
2Li 3/2 [exp(−α)] N k B T für T ≥ T c .
Der klassische Limes ergibt sich daraus für α → ∞ also µβ → −∞. Die Reihenentwicklung (4.5.32)
liefert in der Tat wieder (4.5.37), wie es sein muß.
Die Entropie finden wir dann aus (4.5.30). Für T < T c ergibt sich
S =
und für die spezifische Wärme gemäß (3.3.6)
c V = 1 N
∂ U
∂ T
5ζ (5/2)
2ζ (3/2) k B N T
T c
3/2
für T < T c , (4.5.70)
V,N
=
15ζ (5/2) T 3/2
4ζ (3/2) k B für T < T
T c . (4.5.71)
c
Für T → 0 verschwinden also sowohl die Entropie als auch die spezifische Wärme. Wie wir gesehen
haben, liegt das beim Bosegas daran, daß nur der Anteil der Teilchen außerhalb des Bose-Einstein-
Kondensats, also diejenigen Teilchen, die „angeregte Zustände“ besetzen, zur inneren Energie, beitragen.
141