Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 2 · Galilei-Symmetrie
2.4 Das Noether-Theorem (klassisch)
Wir wollen nun die im vorigen Abschnitt entwickelte Theorie der kanonischen Transformationen auf
Symmetrien anwenden. Für das folgende genügt es, infinitesimale Symmetrietransformationen zu
betrachten. Wir untersuchen infinitesimale Änderungen der Phasenraumvariablen und berücksichtigen
zugleich eine Umparametrisierung der Zeit:
⃗X = ⃗x + δ ⃗x, ⃗ P = ⃗p + δ ⃗p, t ′ = t + δ t. (2.4.1)
Damit die Transformation bzgl. der Phasenraumvariablen eine kanonische Transformation ist, stellen
wir sie mit einer kanonischen Transformation dar. Wir setzen weiter voraus, die Transformation
sei durch eine Einparametergruppe gegeben wie Abschnitt 2.1 beschrieben. Den entsprechenden Parameter
nennen wir α. Eine infinitesimale Transformation kann dann offenbar durch eine erzeugende
Funktion der Gestalt
g(⃗x, ⃗ P, t) = ⃗x · ⃗P + δαG(⃗x, ⃗ P, t) (2.4.2)
beschrieben werden. In der Tat folgt zunächst aus (2.3.7)
⃗X = ⃗x + δα ∂
∂ ⃗ P G(⃗x, ⃗ P, t). (2.4.3)
Wir berücksichtigen nun nur Terme in erster Ordnung in δα, so daß wir im zweiten Term für ⃗ P auch
⃗p einsetzen können, d.h. es ist
⃗X = ∂
∂ ⃗ P
Für die kanonischen Impulse finden wir gemäß (2.3.7)
Bis auf Größen der Ordnung (δα 2 ) ist also
g = ⃗x + δα
∂
∂ ⃗p G(⃗x, ⃗p, t) + (δα2 ). (2.4.4)
⃗p = ∂
∂ ⃗x g = ⃗ P + δα ∂
∂ ⃗x G(⃗x, ⃗p, t) + (δα2 ). (2.4.5)
⃗P = ⃗p − δα ∂ G(⃗x, ⃗p, t). (2.4.6)
∂ ⃗x
Eine infinitesimale Symmetrietransformation liegt nun definitionsgemäß genau dann vor, wenn
∂
δH = δ ⃗x ·
∂ ⃗x + δ ⃗p · ∂
∂ ⃗p + δ t ∂
H = 0 (2.4.7)
∂ t
ist. Setzen wir darin (2.4.4) und (2.4.6) ein, finden wir
∂ H
δH = δα
∂ ⃗x · ∂ G
∂ ⃗p − ∂ H
∂ ⃗p · ∂ G
+ δ t ∂ H
∂ ⃗x ∂ t
= 0. (2.4.8)
Dies können wir definitionsgemäß durch die Poissonklammer gemäß (2.2.15) ausdrücken
δH = δα {H,G} pb
+ δ t ∂ H
∂ t
= 0. (2.4.9)
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