Quantentheorie II - FIAS

2.4 · Das Noether-Theorem (klassisch)
Falls wir eine Hamilton-Funktion der einfachsten Form
vorliegen haben, reduziert sich dies auf die Forderung, daß
H(⃗x, ⃗p) = ⃗p2
+ V (⃗x) (2.4.27)
2m
⃗n · [⃗x × ⃗ ∇V (⃗x)] = −⃗n · (⃗x × ⃗ F ) = 0 (2.4.28)
ist, d.h. daß die Komponente des Drehmoments in Richtung der Drehachse verschwindet. Damit die
Hamilton-Funktion dieser Form überhaupt unter allen Drehungen invariant ist, muß diese Forderung
für alle ⃗n gelten, und es muß ⃗ M = ⃗x × ⃗ F = 0 gelten. Dies ist offenbar genau dann erfüllt, wenn ⃗ F ∝ ⃗x
ist. Das bedeutet, daß das Potential eine Funktion von |⃗x| sein muß, denn nur dann ist
⃗∇V (|⃗x|) = V ′ (|⃗x|) ⃗ ∇|⃗x| = V ′ (|⃗x|)⃗x/|⃗x| ∝ ⃗x. (2.4.29)
Dies ist ein typisches Beispiel dafür, wie Symmetrieforderungen die mögliche Form der Hamiltonfunktion
einschränken können.
Galilei-Boosts: Betrachten wir schließlich noch einen Galileiboost in Richtung von ⃗n. Gemäß (2.1.1)
lautet die infinitesimale Transformation für ein Teilchen in einem äußeren Potential
δ ⃗x = −δw ⃗nt, δ ⃗p = −δw m ⃗n, δ t = 0. (2.4.30)
Es ergibt sich daraus für die Erzeugende der kanonischen Transformation
G(⃗x, ⃗p, t) = ⃗n · (m⃗x − ⃗p t). (2.4.31)
Damit dies eine Symmetrie ist, muß gemäß (2.4.11) für eine Hamilton-Funktion in der Gestalt (2.4.27)
⃗n · m ∂ H
∂ ⃗p − t ∂ H ∂ V
∂ ⃗x − ⃗p = −⃗n · = 0 (2.4.32)
∂ ⃗x
gelten. Das Potential muß also von der Ortskomponente in Richtung von ⃗n unabhängig sein, d.h. es
genügt für die Galilei-Boost-Invarianz bereits die Translationsinvarianz in diese Richtung. In diesem
Fall ist wegen (2.4.20) also automatisch auch ⃗p = const, und der entsprechende Erhaltungssatz besagt
wegen (2.4.31), daß
⃗n · ⃗x = ⃗n ·
⃗x 0 + ⃗p
m t (2.4.33)
mit einer Integrationskonstanten ⃗x 0 gilt.
Verlangt man nun überhaupt Invarianz unter der vollen Galilei-Gruppe, so ergibt sich für ein einzelnes
Teilchen, daß V = const sein muß, da in alle Richtungen räumliche Translationsinvarianz herrschen
muß. Aus der zeitlichen Translationsinvarianz folgt weiter, daß H nicht explizit von der Zeit abhängen
darf. Es ist also H = H(⃗p). Aus der Rotationsinvarianz folgt unter der Voraussetzung, daß ⃗p sich unter
Drehungen wie ein Vektor verhält, daß H nur vom Betrag von ⃗p abhängen darf. Schließlich verlangt
die Boostinvarianz zusätzlich die Erhaltung der Geschwindigkeit, welche gemäß (2.4.31) ˙⃗x = ⃗p/m ist.
Andererseits verlangt die eine verbleibende nichttriviale Hamiltonsche kanonische Gleichung, daß
˙⃗x = ∂ H
∂ ⃗p
!
= ⃗p m
(2.4.34)
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