Dr. Pap László jegyzete - BME Hálózati Rendszerek és ...

11.3. STABILITÁSVIZSGÁLAT 219
a számlálóm-ed fokú,
D(p) = c n p n +...+ c 1 p+c 0 (11.38)
pedig a nevező n-ed fokú polinomja (a megvalósítható rendszerekben n ≥ m). A hibatényező nevezője
ebben az esetben az
1+(βA)(p) = 1+K
′N (p)
D(p) = 1+K′b mp m +...+ b 1 p+b 0
c n p n = a np n +...+ a 1 p+a 0
+...+ c 1 p+c 0 c n p n , (11.39)
+...+ c 1 p+c 0
ahol
a n p n +...+ a 1 p+a 0 (11.40)
a visszacsatolt rendszer átvitelének nevezőjében szereplő úgynevezett karakterisztikus polinom, melynek
a gyökei a rendszer pólusai. A felírásnál kihasználtuk azt, hogy fizikailag megvalósítható rendszerekben
n ≥ m, ezért a közös nevezőre hozás után a számláló és a nevező fokszáma azonos marad.
Felhasználva a polinomok gyöktényezős alakjait a fenti kifejezések az alábbi alakra hozhatók
1+(βA)(p) = 1+K ′b m
c n
(p−p z1 )(p−p z2 )...(p−p zm )
(p−p p1 )(p−p p2 )...(p−p pn ) =
= 1+K (p−p z1)(p−p z2 )...(p−p zm )
(p−p p1 )(p−p p2 )...(p−p pn ) = a n
c n
(p−p 1 )(p−p 2 )...(p−p n )
(p−p p1 )(p−p p2 )...(p−p pn ) , (11.41)
ahol K = K ′ b m /c n és
• {p zj }, j = 1,...,m a nyílt rendszerj-dik zérusa,
• {p pi }, i = 1,...,n a nyílt rendszeri-dik pólusa,
• {p i }, i = 1,...,n a zárt rendszer j-dik pólusa.
A stabilitásvizsgálat alapfeladata tehát annak megállapítása, hogy mi a feltétele annak, hogy Re(p i ) <
0, mindeni = 1,...,n esetén. A feladat igen egyszerű, mivel csupán a rendszer karakterisztikus egyenletének
a gyökeit kell meghatároznunk. A gyökök kiszámításan > 4 esetében már elég körülményes,
ezért a következőkben áttekintünk néhány, gyakorlatban jól alkalmazható általános stabilitáskritériumot.
Routh-Hurwitz-kritérium
Tételezzük fel, hogy analitikusan ismerjük a zárt rendszer karakterisztikus egyenletét, azaz ismerjük
a
a n p n +...+ a 1 p+a 0 (11.42)
polinom{a i } együtthatóit. A Routh-Hurwitz-kritérium kimondja, hogy a fentin-ed fokú valós együtthatójú
polinom összes gyöke (a n > 0 esetén) akkor és csak akkor van a bal félsíkon, ha a polinom
együtthatóiból alkotott
D 0 =
∣
a n−1 a n 0 0 0 0 0...
a n−3 a n−2 a n−1 a n 0 0 0...
a n−5 a n−4 a n−3 a n−2 a n−1 a n 0...
.
.
determináns összes
D n−1 = a n−1 , D n−2 =
∣ a ∣ n−1 a n ∣∣∣ , D
a n−3 a n−3 =
n−2 ∣
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(11.43)
0...
...a 0
a n−1 a n 0
a n−3 a n−2 a n−1
a n−5 a n−4 a n−3
∣ ∣∣∣∣∣
... (11.44)