Dr. Pap László jegyzete - BME Hálózati Rendszerek és ...

13.3. GYAKORLATI MÓDSZEREK 285
• A rendszerben a rezgési frekvenciát az ideális integrátorokat tartalmazó visszacsatolt áramkör
határozza meg (a 13.2. ábra áramköréhez hasonlóan),
• A keletkező közel szinuszos jel amplitúdóját (U 0 ) egy ideális nullkomparátor (limiter) állítja
be, oly módon, hogy a második integrátor kimenetéről a baloldali összeadó áramkör virtuális
földpontjára visszajutó áram értékét limitálja. Az ideális nullkomparátor kimenetén az
u 1 =
{
UM ha sin(ω 0 t) > 0
−U M ha sin(ω 0 t) < 0
(13.83)
feszültség jelenik meg. Ez a feszültség az R ′ ellenálláson keresztül áramot juttat a baloldali
összeadó áramkör virtuális földpontjára. Ennek alapján az áramkör működését az
(
− R R u− R ) (
R ′U Msgn(−RCpu) − R− × 1 ) (
pC
− 1 )
= u (13.84)
R pCR
egyenlet írja le, amiből átrendezések után a
−u+U M
R
R ′sgn(RCpu)− R R − 1
ω 0
pu = p 2 R 2 C 2 u (13.85)
alakot kapjuk, amely a
1 d 2 u
dt 2 + 1 ( )
R du
ω 0 R − dt −U R 1 du
M
R ′sgn +u = 0, ω 0 = 1
ω 0 dt RC
ω 2 0
(13.86)
differenciálegyenletnek felel meg (a kifejezésekben a p most a differenciálás operátorát jelöli).
Ebben az egyenletben a veszteséges lineáris rendszer2ζ du
dt
paramétere helyett az
( )
1 R du
ω 0 R − dt −U R 1 du
M
R ′sgn (13.87)
ω 0 dt
kifejezés szerepel.
Ilyenkor a rezgési amplitúdó a harmonikus egyensúly elve alapján határozható meg (lásd a Van
der Pol oszcillátor vizsgálatánál adott magyarázatot) oly módon, hogy azu(t) függvény helyébe
az
u(t) ∼ = U 0 cos(ω 0 t) (13.88)
közelítő megoldást helyettesítjük, és a differenciálegyenletet csak azω 0 frekvenciás alapharmonikuson
vizsgáljuk. Ekkor az eredeti differenciálegyenlet másodrendű és lineáris tagjának az
összege
1 d 2 u
dt 2 +u = −U 0
ω0cos(ω 2 0 t)+U 0 cos(ω 0 t) = 0 (13.89)
ω 2 0
értékű, ezért a feladatunk az, hogy meghatározzuk az
( )
1 R du
ω 0 R − dt −U R 1 du
M
R ′sgn ω 0 dt
kifejezés alapharmonikusát
− 1 ( )
R R 1
ω 0 R −U 0ω 0 sin(ω 0 t)+U M
R ′sgn U 0 ω 0 sin(ω 0 t)
ω 0
ω 2 0
=
(13.90)
= − R R −U 0sin(ω 0 t)+U M
R
R ′sgn(sin(ω 0t)), (13.91)