Dr. Pap László jegyzete - BME Hálózati Rendszerek és ...

13.2. ELMÉLETI JELENTŐSÉGŰ MEGOLDÁSOK 275
egyenletet kapjuk, és K-val való szorzás után az
1 d 2 (
x
dt 2 = −x−ε − 1 )
dx (K 2 Uref 2 ω 0 dt
−x2) , (13.30)
ω 2 0
illetve a
d 2 x
dt 2 +εω dx (
0 x 2 −1 ) +ω 2
dt
0x = 0 (13.31)
Van der Pol egyenlethez jutunk.
Az egyenlet láthatóan hasonlít a korábban vizsgált lineáris rendszer
d 2 u
dt 2 +2ζω du
0
dt +ω2 0u = 0 (13.32)
egyenletére, azzal a különbséggel, hogy ebben az egyenletben az x(t) változó elsőrendű deriváltjának
a szorzótényezője nem a 2ζ konstans, hanem az ε ( x 2 −1 ) nemlineáris kifejezés, amelynek az értéke
az x jel pillanatnyi nagyságától függ. Korábban láttuk, hogy a lineáris rendszer megoldása a ζ előjelétől
függ, miszerint negatív ζ értékeknél a rendszer exponenciálisan növekvő jelet állít elő, pozitív
ζ értékeknél a jel amplitúdója exponenciálisan csökken, míg ζ = 0 esetén a jel amplitúdója állandó
értékű.
Másképpen fogalmazva:
• Haζ < 0, akkor a rendszerben keletkező jel energiája növekszik,
• Haζ = 0, akkor a rendszerben keletkező jel energiája állandó marad,
• Haζ > 0, akkor a rendszerben keletkező jel energiája csökken.
A Van der Pol egyenlet általános megoldása analitikusan nem ismert. Feltételezhetjük azonban,
hogy kis ε értékeknél az egyenlet megoldása hasonlít a lineáris egyenlet megoldásához, azaz közel
szinuszos. Az egyenletből világosan látszik, hogy a 2ζ konstans helyett megjelenő ε ( x 2 −1 ) nemlineáris
kifejezés értéke kis x-ek esetén biztosan negatív, ezért a rendszerben keletkező jel energiája
növekszik, vagyis a jel amplitúdója nő. Nagy x-eknél viszont az ε ( x 2 −1 ) kifejezés (illetve annak
egy periódusra vett átlagértéke) pozitívvá válik, vagyis a rendszerben keletkező jel energiája csökken.
Ez a mechanizmus azt eredményezi, hogy kis kezdeti feltételek esetén (ha a két kondenzátoron
mért feszültség kicsi), akkor a keletkező közel szinuszos jel amplitúdója növekszik, ha pedig a kezdeti
feltételek értéke nagy, akkor a jel amplitúdója csökken, amiből nyilvánvaló, hogy a Van der Pol
egyenlet megoldása állandó amplitúdójú közel szinuszos jel, és az, hogy a rendszer bármilyen kezdeti
feltételből kiindulva ehhez az állandó amplitúdójú megoldáshoz tart.
Az oszcillátor által előállított közel szinuszos jel amplitúdóját az úgynevezett harmonikus egyensúlyi
egyenletek segítségével tudjuk közelítőleg meghatározni. A harmonikus egyensúlyi egyenletek
módszerét periodikus jellel vezérelt nemlineáris áramkörök analízisére használjuk. A módszer arra a
fizikai tényre épül, hogy állandósult állapotban a periodikus jellel vezérelt nemlineáris áramkörök minden
pontján periodikus jelek jelennek meg, és az áramkör minden csomópontján, és minden hurokban a
periodikus jelek Fourier-sorának minden összetevőjére külön-külön érvényesek a Kirchoff-törvények.
LC oszcillátorok esetében (ha az áramkör szelektív) elegendő csak az alapharmonikus jelekkel
foglalkozni, mivel feltételezhetjük, hogy az egyenlet megoldása szinuszos, és a jel torzítása, azaz
a jelben lévő magasabb frekvenciájú jelek amplitúdója elhanyagolható. Ilyenkor tehát a megoldás
helyére állandó amplitúdójú szinuszos jelet helyettesítünk, és az egyenletet csak az alapharmonikus
jelekre, az ω 0 frekvenciájú komponensekre oldjuk meg.
Esetünkben ez azt jelenti, hogy eleve feltételezzük, hogy a keletkező állandó amplitúdójú jel közel
szinuszos, azaz
x(t) ∼ = X 0 cos(ω 0 t), (13.33)