Dr. Pap László jegyzete - BME Hálózati Rendszerek és ...

13.2. ELMÉLETI JELENTŐSÉGŰ MEGOLDÁSOK 279
Az oszcillátorok működésének illusztrálása a fázissíkon
A fázissík olyan eszköz, amely segítségével világos képet alkothatunk a másodrendű nemlineáris
autonóm rendszerek működéséről. A nemlineáris rendszerekben sok meglepő és különleges jelenség
léphet fel, és a fázissík ezeknek a megértését támogatja, elsősorban vizuális eszközök segítségével.
Ilyen a nemlineáris oszcillátorok működése is, amely a fázissíkon könnyen szemléltethető.
A fázissíkon a másodrendű differenciálegyenletek megoldásának deriváltját ábrázoljuk a megoldás
függvényében. Egy általános másodrendű nemlineáris differenciálegyenletet a
d 2 (
x
dt 2 +g x, dx )
dt ,t = 0 (13.63)
alakban írhatunk fel. Jelöljüky-nal azx(t) megoldás idő szerinti deriváltját, azaz vezessük be az
y = dx
dt
(13.64)
változót, amiből
d 2 x
dt 2 = dy
dt = dy dx
dx dt = ydy dx , (13.65)
és helyettesítsük be ezt a kifejezést az általános egyenletbe. Ekkor az
y dy +g(x,y,t) = 0 (13.66)
dx
differenciálegyenlethez jutunk, ami azy és azxközötti kapcsolatot jellemzi. A fázissíkon azy értékét
ábrázoljuk az x függvényében. A továbbiakban csak autonóm rendszereket analizálunk, amelyek
közvetlenül nem függenek az időtől és nincsen bemenő jelük, azaz a fenti általános egyenlet az
y dy +g(x,y) = 0 (13.67)
dx
alakban írható fel.
Érdemes megjegyezni, hogy az y és x mennyiségek éppen a másodrendű rendszer állapotváltozóival
azonosak, így azt is mondhatjuk, hogy a fázissíkon a másodrendű rendszerek állapotváltozóinak
a kapcsolatát ábrázoljuk. Ugyanakkor tudjuk azt is, hogy az adott másodrendű differenciálegyenlet
megoldásához két kezdeti feltételt kell megadnunk, melyek éppen ezeknek az állapotváltozóknak a
kezdeti értékeit jelentik. Ezért a fázissík minden pontjához a vizsgált másodrendű differenciálegyenlet
egy kezdeti feltétele tartozik.
A fázissík fogalmának megértéséhez induljunk ki a másodrendű lineáris egyenletek vizsgálatából,
mivel ezek megoldását zárt alakban ismerjük. Lineáris esetben az általános egyenlet a
alakban adható meg, amiből az
formát kapjuk. Átrendezés után a
d 2 x
dt 2 +2ζdx +x = 0 (13.68)
dt
y dy +2ζy +x = 0 (13.69)
dx
dy
dx = −2ζ − x y
(13.70)
egyenlethez jutunk, ami az x-y sík minden pontján megadja az y x szerinti deriváltját az x és y függvényében.
A deriváltak értéke esetünkben csak az x és y hányadosától függ. A deriváltakat a 13.6.
ábrán mutatjuk be.