Dr. Pap László jegyzete - BME Hálózati Rendszerek és ...

11.3. STABILITÁSVIZSGÁLAT 225
abs{(βA)(jω)}
Instabil
-20 dB/D
A stabilitás határhelyzete
Stabil
0 dB
-40 dB/D
ω p2
0 0
-180 0
ω p3 ω p1
ω
arc{(βA)(jω)}
a t
-60 dB/D
ω
φ t
11.19. ábra. Egy stabil, egy stabilitás határhelyzetében lévő, illetve egy instabil rendszer Bodediagramja.
csakis akkor stabil (stabil nyílt rendszert feltételezve), ha a nyílt rendszer hurokerősítésének helygörbéje
a komplex számsíkon nem veszi körül a (−1,0) pontot. Fogalmazzunk most másképpen. A 11.18.
ábra szerint ez annyit jelent, hogy amikor a hurokrerősítés abszolút értéke, |(βA)(jω)| = 1, azaz a
helygörbe metszi az egységsugarú kört, akkor az arc[(βA)(jω)] értéknek π-nél kisebbnek kell lenni
(illetve negatív szögek esetén nem érheti el a −π értéket), vagy ha arc[(βA)(jω)] = ±π, akkor az
|(βA)(jω)|-nak kisebbnek kell lenni egynél.
Ennek alapján fázistartaléknak nevezzük azt a ϕ t szöget, amely a 11.18. ábrából is kivehetően,
megadja, hogy |(βA)(jω)| = 1-nél a hurokerősítés fázisa mennyivel kisebb π-nél (vagy negatív szögekben
gondolkodva mennyivel kisebb −π-nél).
Ha ϕ t > 0 (|arc[(βA)(jω)]| < π), akkor a rendszer stabil, ha ϕ t = 0 (|arc[(βA)(jω)]| =
π), akkor a rendszer a stabilitás határhelyzetében van. Ha az |(βA)(jω)| = 1 helyen a fázistolás
(arc[(βA)(jω)]) pozitív szögértékeknél a π, negatív szögértékeknél a −π értéket túllépi, akkor
a rendszer instabil.
Az erősítéstartalék definíciószerűen a(βA)(jω) helygörbe és a negatív valós tengely metszéspontjának
a t távolsága az origótól. Ez azt fejezi ki, hogy a K értékét milyen mértékben kell megnövelni
ahhoz, hogy az adott rendszer a stabilitás határhelyzetébe kerüljön.
Ha a t < 1, akkor a rendszer stabil, ha a t = 1, akkor a rendszer a stabilitás határhelyzetében van,
ha a t > 1, akkor a rendszer instabil.
Meg kell jegyezni, hogy ez a két fogalom csak egyszerűbb viselkedésű visszacsatolt rendszerek
esetében alkalmazható, például olyankor, ha a helygörbe az egységsugarú körbe egyszer belépve, nem
lép ki többet abból, illetve csak egyszer metszi a negatív valós tengelyt.
A Bode-diagramos stabilitásvizsgálat általában a fázistartalékra és az erősítéstartalékra vonatkozó
feltételek ellenőrzését jelenti. A 11.19. ábrán megadtuk egy stabil, egy stabilitás határhelyzetében
lévő, illetve két instabil rendszer Bode-diagramját.
A Bode-diagramon a K paraméternek (a hurokerősítés konstansának) a változtatása az amplitúdókarakterisztika
függőleges eltolását jelenti, így az erősítéstartalék könnyen leolvasható dB-ben.
Hasonlóan egyszerű feladat a fázistartalék értelmezése is, mivel az |(βA)(jω)| = 1 az amplitúdókarakterisztikán
0 dB-nek felel meg.