Dr. Pap László jegyzete - BME Hálózati Rendszerek és ...

11.3. STABILITÁSVIZSGÁLAT 227
lg{(βA)(jω)}
a(ω)
da
dµ
[ ]
( ω) d lg ( βA)( jω)
=
⎡ ω ⎤
d lg⎢
⎥
⎣ω1
⎦
0 dB
ω 1
µ = 0
lg(ω)
µ
11.20. ábra. Az egyszerűsített Bode-tétel értelmezése.
integrál első közelítésben nullának vehető, ha az a(ω) amplitúdókarakterisztika meredeksége az ω 1
frekvencia környezetében alig változik, ugyanis megállapítható, hogy az
ln
exp(µ)+1
∣exp(µ)−1∣ (11.62)
súlyozó függvény csak aµ = 0 (ω = ω 1 ) hely környezetében vesz fel nagy értékeket, itt pedig ilyenkor
a
da(ω)
dµ − da(ω)
(11.63)
dµ ∣
µ=0
érték lényegében nulla.
A Bode-tétel kimondja, ha a logaritmikus amplitúdókarakterisztika meredeksége lassan változik,
akkor a hurokerősítés fázistolása az ω 1 frekvencián a
b(ω 1 ) ≃ π 2
da(ω)
dµ
(11.64)
∣
µ=0
kifejezéssel közelíthető. A 11.20. ábrán a fenti kifejezés értelmezését adjuk meg.
Az ábrán a Bode-diagram amplitúdókarakterisztikáját ábrázoltuk a szokásos logaritmikus frekvenciatengellyel.
A tétel szerint a hurokerősítés fázistolása tetszőleges ω 1 frekvencián a karakterisztika
meredekségének aπ/2-szeresével közelíthető.
A Bode-diagramos stabilitásvizsgálat minimálfázisú hálózatok esetén a következőképpen végezhető
el. Első lépésben meghatározzuk azt a frekvenciát, ahol a hurokerősítés abszolút értéke egységnyi.
Itt lemérjük a logaritmikus amplitúdó - logaritmikus frekvencia karakterisztika meredekségét (x-et),
majd elvileg a pontos, gyakorlatilag a közelítő kifejezés segítségével meghatározzuk a hurokerősítés
fázistolását, illetve azt, hogy a fázistolás mennyire tér el a ±π értéktől (a ϕ t fázistartalék számítása).
Lényegében ezt az eljárást mutatja be a 11.21. ábra.
Teljesen hasonló módon a stabilitás akkor is megállapítható, ha a hurokrerősítés Bode-diagramja
helyett az erősítésnek és a visszacsatolási tényező reciprokának a frekvenciamenetét külön ábrázoljuk
ugyanazon a Bode-diagramon (lásd 11.22. ábra).
Most a|(βA)(jω 1 )| = 1 pontban
és a logaritmikus ábrázolás miatt
|x|
|A(jω 1 )| =
[ ] dB
= |x 1 +x 2 |
dekád
1
β(jω 1 ) , (11.65)
[ ] dB
. (11.66)
dekád