Dr. Pap László jegyzete - BME Hálózati Rendszerek és ...

276 13. KÖZEL SZINUSZOS OSZCILLÁTOROK
és a jel torzítása elhanyagolhatóan kicsi. Ilyenkor a
és
Ezeket behelyettesítve a
egyenletbe a
dx(t)
dt
−X 0 ω 2 0cos(ω 0 t)−εω 0 X 0 ω 0 sin(ω 0 t)
∼= −X 0 ω 0 sin(ω 0 t) (13.34)
d 2 x(t)
dt 2 ∼ = −X0 ω 2 0cos(ω 0 t). (13.35)
d 2 x
dt 2 +εω dx (
0 x 2 −1 ) +ω 2
dt
0x = 0 (13.36)
( )
(X 0 cos(ω 0 t)) 2 −1 +ω0X 2 0 cos(ω 0 t) ∼ = 0 (13.37)
kifejezéshez jutunk, ami egyszerűsítések után a
( )
−cos(ω 0 t)−εsin(ω 0 t) X0
2 1+cos(2ω 0 t)
−1 +cos(ω 0 t)
2
∼ = 0, (13.38)
illetve a
( )
sin(ω 0 t) X0
2 1+cos(2ω 0 t)
−1 ∼= 0 (13.39)
2
alakra hozható. Kis harmonikus torzítás esetén elegendő az egyenlet ω 0 frekvenciájú alapharmonikus
jelét kiszámítani és nullával egyenlővé tenni, ami a
( )
sin(ω 0 t) X2 0
2 + X2 0
4 (sin(3ω 0t)−sin(ω 0 t))−sin(ω 0 t) ∼ X
2
= sin(ω 0 t) 0
2 − X2 0
4 −1 ∼= 0, (13.40)
egyenlethez vezet, amiből
X 2 0
4 −1 ∼ = 0, X 0
∼ = 2, U0 = 2 K = 2U ref (13.41)
tehát a rezgési amplitúdó értéke közelítőleg2U ref .
Itt felhasználtuk a
cos 2 (ω 0 t) = 1+cos(2ω 0t)
2
és a
sin(ω 0 t)cos(2ω 0 t) = −sin(ω 0t)+sin(3ω 0 t)
2
ismert trigonometrikus összefüggéseket.
A Van der Pol oszcillátor ekvivalens változata
(13.42)
(13.43)
A Van der Pol egyenlethez eljuthatunk úgy is, ha a 13.3 ábrán feltüntetett veszteséges LC rezgőkör
kapcsolását kiegészítjük két speciális karakterisztikájú "diódával", melyek árama és feszültsége között
az
{ Au
3
i d = d
ha u d > 0
(13.44)
0 ha u d < 0
egyenlet teremt kapcsolatot, ahol A a "dióda" [ A/V 3] dimenziójú konstansa, azaz nyitóirányban a
dióda árama az u d feszültség köbével arányos, záró irányban pedig nulla értékű. A kapcsolás a 13.5.
ábrán látható.