Dr. Pap László jegyzete - BME Hálózati Rendszerek és ...

272 13. KÖZEL SZINUSZOS OSZCILLÁTOROK
R
R
R
R
R
C
R
C
-upRC
u
13.2. ábra. A műveleti erősítőkkel megvalósított "lineáris oszcillátor" hibáinak a modellezése.
alakra hozható. Ebből közös nevezőre hozás után az
(
− u R + 1 )
R +pCRu R − = ( 1+pCR −) pCRu, (13.16)
illetve a
p 2 CRCR − u−pCR R− R−
R +u+pCRu+ R u =
)
= p 2 CRCR − u+pCR
(1− R−
R + u+ R−
u = 0, (13.17)
R
kifejezéshez jutunk, amiből
( R
p 2 CRCRu+pCR
R − − R )
R + u+u = 0. (13.18)
Ebből az egyenletből az ω 0 = 1/RC és 2ζ = R/R − −R/R + helyettesítések után az
d 2 u
dt 2 +2ζω du
0
dt +ω2 0u = 0 (13.19)
homogén lineáris differenciálegyenlethez jutunk, aminek az általános megoldása|ζ| < 1 esetén az
ahol U 0 a jel kezdeti amplitúdója, ϕ 0 jel kezdeti fázisa, és
u(t) = U 0 exp(−ζω 0 t)cos(ω n t+ϕ 0 ) (13.20)
Az eredményekből nyilvánvaló, hogy abban az esetben, ha
ω n = ω 0
√
1−ζ 2 . (13.21)
• ζ > 0, akkor a rendszer kimenetén exponenciálisan csökkenő amplitúdójú,
• ζ = 0, akkor a rendszer kimenetén állandó amplitúdójú,
• ζ < 0, akkor a rendszer kimenetén exponenciálisan növekvő amplitúdójú jel jelenik meg.
Fontos megemlíteni, hogy a klasszikus oszcillátorokat általában LC elemekkel építjük fel, ezért
fontos analizálni a 13.3. ábrán megadott veszteséges rezgőkör működését.
A rezgőkör egy-egy párhuzamosan kapcsolt kondenzátorból és induktivitásból áll, melyekkel egy
pozitív G 0 (energiát fogyasztó) és egy G N negatív (energiát termelő) vezetés kapcsolódik párhuzamosan.
A pozitív vezetés (ellenállás) a rezgőkörben fellépő veszteséget, a negatív vezetés (ellenállás)