Dr. Pap László jegyzete - BME Hálózati Rendszerek és ...

226 11. A VISSZACSATOLÁS VIZSGÁLATA
Még egyszer hangsúlyozzuk, hogy bonyolultabb viselkedésű rendszerekre a fázistartalék és az
amplitúdótartalék nem alkalmazható, ilyenkor a Bode-diagramos vizsgálat helyett vissza kell térni a
Nyquist-stabilitáskritérium feltételeihez.
Minimálfázisú hálózatok stabilitásvizsgálata Bode-diagramok segítségével
A Bode-diagramos stabilitásvizsgálat az amplitúdó- és fáziskarakterisztikát együtt használja a zárt
rendszer stabilitásának meghatározására. Ez érthető is, hiszen a két karakterisztika csak együtt írja le
a hálózatot a Nyquist-diagrammal azonos módon.
Minimálfázisú hálózatok hurokerősítésének (általában az átviteli függvénynek) sem zérusa, sem
pedig pólusa nincs a jobb félsíkon, a Bode-diagramos stabilitásvizsgálat tovább egyszerűsíthető.
Korábbi tanulmányainkból ismert, hogy minimálfázisú hálózatok esetén a rendszer logaritmikus
amplitúdókarakterisztikája (a Bode-diagramon éppen ezt ábrázoljuk) egyértelműen meghatározza a
rendszer fáziskarakterisztikáját. Így elegendő az amplitúdókarakterisztikát vizsgálat tárgyává tenni a
stabilitás meghatározása céljából.
A stabilitás feltételének megállapítására vizsgáljuk meg a (βA)(p) hurokerősítés logaritmusát a
(jω) tengely mentén:
ln[(βA)(jω)] = ln|(βA)(jω)|+jarc[(βA)(jω)] = a(ω)+jb(ω), (11.57)
ahol|(βA)(jω)| az amplitúdókarakterisztika és arc[(βA)(jω)] a fáziskarakterisztika. Az egyszerűség
kedvéért a továbbiakban az amplitúdókarakterisztika ln|(βA)(jω)| logaritmusát a(ω)-val, a fáziskarakterisztikát
pedig b(ω)-val jelöljük.
Bode első tétele kimondja, hogy minimálfázisú hálózatok esetén igaz, hogy a hálózat fázistolását
egy tetszőleges ω 1 frekvencián a látszólag bonyolult
b(ω 1 ) = π da(ω)
2 dµ | µ=0 + 1 ∫ ∞
[ da(ω)
π −∞ dµ − da(ω) ]
dµ | µ=0 ln
exp(µ)+1
∣exp(µ)−1∣dµ (11.58)
egyenlet segítségével határozhatjuk meg, amely kapcsolatot teremt az a(ω) logaritmikus amplitúdókarakterisztika
deriváltja és a fáziskarakterisztika ω 1 frekvencián felvett b(ω 1 ) értéke között. A
kifejezésben
( ) ω
µ = ln , ω és ω 1 > 0 (11.59)
ω 1
a logaritmikusan torzított frekvencia,
da(ω)
dµ = dln|(βA)(jω)| ( ) = dlg|(βA)(jω)| ( ) (11.60)
dln ω
ω 1
dlg ω
ω 1
pedig a logaritmikus frekvenciatengellyel ábrázolt logaritmikus amplitúdókarakterisztika meredeksége.
Emlékeztetőül érdemes megjegyezni, hogy a Bode-diagram amplitúdókarakterisztikáján a
20lg|(βA)(jω)| [dB]
értékét ábrázoljuk logaritmikusan torzított frekvenciatengellyel, így a fenti kifejezés lényegében a
Bode-diagram amplitúdókarakterisztikájának a deriváltjával arányos.
Az egyenletben szereplő
∫
1 ∞
[ da(ω)
π −∞ dµ − da(ω) ]
dµ | µ=0 ln
exp(µ)+1
∣exp(µ)−1∣dµ (11.61)