Dr. Pap László jegyzete - BME Hálózati Rendszerek és ...

280 13. KÖZEL SZINUSZOS OSZCILLÁTOROK
A fázissík
deriváltjai
y
x
13.6. ábra. A fázissík deriváltjai.
Az ábrán egy origón keresztülhaladó egyenes mentén az x/y = K értéke állandó, ezért az y x
szerinti deriváltja
dy
= −2ζ −K (13.71)
dx
is állandó, így a dy/dx irányát mutató kis nyilak az egyenes mentén párhuzamosak egymással. A
deriváltak megadják az x aktuális változási irányát is, mivel ha y = dx/dt > 0, akkor x növekszik,
ha y = dx/dt < 0, akkor pedig x csökken, ezért a sík minden pontjához hozzárendelhető egy változási
irány, ami alapján bármely kezdeti állapotból (a sík bármely pontjából) kiindulva felrajzolható a
differenciálegyenlet megoldására jellemző úgynevezett trajektória. A trajektória a másodrendű differenciálegyenlet
megoldását adja meg a fázissíkon adott kezdeti feltételek esetén.
Megjegyezzük, hogyζ = 0 esetén a
dy
dx = −x (13.72)
y
differenciálegyenlethez jutunk, ami azt jelenti, hogy egy origón keresztülhaladó egyenes mentén azyx
szerinti deriváltja éppen merőleges magára az egyenesre, ami miatt a másodrendű differenciálegyenlet
trajaktóriája éppen kör lesz, ugyanis, ha
akkor
y = √ C 2 −x 2 , és
x 2 +y 2 = C 2 , (13.73)
dy
dx = 1 1
√
2 C 2 −x (−2x) = −x 2 y . (13.74)
Nem is lehet más, mivel ebben az esetben a differenciálegyenlet a megoldása a körmozgás vetülete a
vizszintes tengelyre, ami éppen a szinuszos jel, ugyanis, ha
x = Ccos(t), (13.75)
akkor
y = −Csin(t) = − √ C 2 −x 2 . (13.76)
A 13.7. és 13.8. ábrán megadjuk a másodrendű lineáris differenciálegyenlet egy-egy trajektóriáját
ζ = 0.1 ésζ = −0.1 és adott kezdeti feltétel esetén.