Dr. Pap László jegyzete - BME Hálózati Rendszerek és ...

282 13. KÖZEL SZINUSZOS OSZCILLÁTOROK
Az ábrák alapján megállapítható, hogy a fázissíkon a lineáris differenciálegyenlet megoldásai exponenciálisan
csökkenő, illetve növekvő spirálok. Ugyanis, ha ζ > 0, akkor a rendszer exponenciálisan
csökkenő, ha ζ < 0, akkor pedig exponenciálisan növekvő amplitúdójú szinuszos jelet állít elő.
Éppen ez az oka annak, hogy lineáris rendszerekkel nem tudunk állandó amplitúdójú szinuszos, vagy
közel szinuszos jelet előállítani, hiszen ehhez ideális áramkörre volna szükség, amelynek a pólusai
éppen ajω tengelyre esnek. Ellenben az ilyen rendszer által előállított jel amplitúdója függene a rendszer
kezdeti feltételeitől is, azaz lényegében nem lenne stabil. Ezért állandó stabil amplitúdójú közel
szinuszos jelet csak nemlineáris eszközök segítségével tudunk előállítani.
Az állandó amplitúdójú jelek előállításakor szükséges az, hogy a rendszer bármilyen kezdeti feltételről
indulva, tranziensek után minden esetben ugyanazt a periodikus jelet állítsa elő. Ez azt jelenti,
hogy ezeknek a rendszereknek a fázissíkon határciklusa van.
A nemlineáris differenciálegyenletek határciklusa egy olyan önmagába visszatérő zárt görbe a fázissíkon,
amelyhez a nemlineáris differenciálegyenlet megoldása tetszőleges kezdeti feltételről indulva
aszimptotikusan tart. Az általunk korábban megismert
d 2 x
dt 2 +ε( x 2 −1 ) dx
+x = 0, (13.77)
dt
Van der Pol differenciálegyenlet, Wien-oszt ennek az egyenletnek megfelelő
dy
dx = −εy( x 2 −1 ) +x
y
(13.78)
fázissík egyenlet rendelkezik ilyen határciklussal, amit a 13.9. ábrán illusztrálunk.
Az ábra alapján megállapíthatjuk, hogy a rezgés amplitúdójaX 0 valóban közel 2 értékű, ahogy azt
a harmonikus egyensúly elve alapján megbecsültük.
13.3. Gyakorlati módszerek
Az egyes oszcillátor kapcsolások elsősorban abban különböznek egymástól, hogy a két alapvető feladatot,
a rezgési frekvencia és amplitúdó beállítását milyen áramköri elrendezéssel oldják meg.
Az amplitúdó meghatározás módszerei
A közel szinuszos jelet előállító oszcillátorokban az állandó rezgési amplitúdót kétféle megoldással
hozzuk létre:
• Kvázilineáris elem alkalmazásával, ahol olyan lineáris áramköri elemet használunk, amelynek
az áramköri paramétere (például az ellenállása) vezérelhető a rezgési amplitúdó függvényében.
Ezt a megoldást olyan esetben célszerű alkalmazni, amikor az oszcillátorban nincs frekvencia
szelektív elem (például rezgőkör), ezért az oszcillátor torzítása erősen függ a rendszerben keletkező
magasabb harmonikus összetevőktől.
• Nemlineáris elemmel, amely - a Van der Pol oszcillátorhoz hasonlóan - növekvő rezgési amplitúdó
esetén egyre nagyobb mértékben terheli a rezgő rendszert, és ezért biztosítani képes a
határciklus kialakítását és a rezgési amplitúdó stabilizálását. Ezt a megoldást akkor lehet eredményesen
alkalmazni, ha az oszcillátorban frekvencia szelektív elem (például rezgőkör) található,
amely akkor is biztosítani képes a közel szinuszos jelet, ha a nemlineáris elem jelentős
felharmonikus jeleket generál.