Dr. Pap László jegyzete - BME Hálózati Rendszerek és ...

11.4. MINŐSÉGVIZSGÁLAT 231
c = √2
c = 1
Im{(βA)(jω)}
1
c =
√2
-2 -1
0
1
c = ∞
Re{(βA)(jω)}
ω
11.24. ábra. Az amplitúdóátvitelre vonatkozó Hall-körök illusztrálása c = √ 2, c = 1 és c = 1/ √ 2
esetén.
kifejezés egy adott értéke (természetesen ez két adatot jelent, például a valós és képzetes részt, vagy
az abszolút értéket és a fázist). Keressük meg ezek után azon pontok mértani helyét a komplex síkon,
amelyeken a|H(jω)|, illetve az arc[H(jω)] értéke konstans.
Bontsuk fel a(βA)(jω) frekvenciafüggvényt valós és képzetes részre:
(βA)(jω) = Re{(βA)(jω)}+jIm{(βA)(jω)} = u+jv, (11.76)
és írjuk fel a visszacsatolt rendszer frekvenciafüggvényének abszolút értékét
és fázisát
√
u
|H(jω)| =
2 +v 2
(1+u) 2 (11.77)
+v 2
( ( ) v v
arc[H(jω)] = arctan −arctan
u)
1+u
(11.78)
a bevezetett jelölések segítségével.
Keressük meg azon pontok mértani helyét, melyeken |H(jω)| = c, tehát a visszacsatolt rendszer
átviteli függvényének abszolút értéke konstans. Az
egyenlet felhasználásával az
√
u
|H(jω)| =
2 +v 2
(1+u) 2 (11.79)
+v 2
] 2 [ ] [u− c2
1−c 2 +v 2 c 2
=
1−c 2 (11.80)
kifejezéshez jutunk. Ez azt jelenti, hogy a keresett mértani helyek a (βA)(jω) síkon körök, melyek
sugara
∣ R a =
c ∣∣∣
∣1−c 2 , (11.81)
középpontja pedig az
u a = c2
1−c 2, v a = 0 (11.82)
pont. Az amplitúdóátvitelre vonatkozó úgynevezett Hall-köröket a 11.24. ábrán tüntettük fel.