Algoritmos y Programación en Pascal

6.5. Dos métodos numéricos iterativos 113
c3 c4
a
c2
c1
Figura 6.8. Aproximación por bipartición.
6.5 Dos métodos numéricos iterativos
Dada una función f : IR → IR, se considera el problema de hallar aproximadamente
un cero de la misma, esto es, un valor x ∈ IR tal que f(x) = 0. En un
computador no es posible representar todos los números reales, por lo cual será
necesario conformarse con aproximaciones a un cero de f, esto es, con un x tal
que f(x) 0. Los siguientes métodos son ampliamente conocidos por su fácil
aplicación y eficiencia. El tercer apartado no es más que una aplicación directa
de los mismos.
6.5.1 Método de bipartición
En este primer método, aceptaremos un valor x como aproximación aceptable
de un cero x0 de f si | x − x0 |< ε, para una cierta tolerancia prefijada (por
ejemplo, ε = 10 −6 ).
Este método se basa en el teorema de Bolzano que dice que, cuando f es
continua en un intervalo [a, b] y los signos de f(a) y de f(b) son distintos, entonces
existe algún cero de f en ese intervalo.
Aunque no hay modo de hallarlo en general, una posibilidad consiste en
hallar el signo de f(c), siendo c = a+b
2 el punto central del intervalo [a, b] y,
según sea igual al de f(a) o al de f(b), quedarnos con el intervalo [c, b] o [a, c],
respectivamente. Iterando este proceso, tendremos un intervalo tan pequeño
como deseemos, y siempre con un cero de f encerrado en él. En concreto,
bastará con repetir el proceso hasta que el ancho del intervalo sea menor que 2ε
para que su punto medio se pueda considerar una aproximación aceptable.
En la figura 6.8 se muestra cómo se va aproximando el cero de la función f
mediante la bipartición sucesiva del intervalo.
b