Algoritmos y Programación en Pascal

12 Capítulo 1. Problemas, algoritmos y programas
se conoce algoritmo que resuelva ese problema”; en cambio, establecer que un
problema “no es computable” requiere demostrar que nunca se podrá encontrar
ningún algoritmo para resolver el problema planteado.
Los siguientes son ejemplos de problemas no computables:
• Décimo problema de Hilbert.
Resolver una ecuación diofántica con más de una incógnita.
Esto significa encontrar soluciones enteras de una ecuación de la forma
P (x1, x2, . . .) = 0, donde P es un polinomio con coeficientes enteros.
• Problema de la parada.
Determinar si un algoritmo a finaliza o no cuando opera sobre una entrada
de datos d:
⎧
⎨ Sí si a(d) ↓
Stop(a, d) =
⎩
No si a(d) ↑
donde a(d) ↓ (resp. a(d) ↑) expresa que el algoritmo a, aplicado al dato d,
sí para (resp. no para).
Examinaremos con más atención el problema de la parada, y después veremos
cuán escurridizo puede resultar determinar si un algoritmo particular para o no
considerando un sencillo ejemplo. Claro está que esto no demuestra nada salvo,
en todo caso, nuestra incapacidad para analizar este algoritmo en concreto. Por
ello, incluimos seguidamente una demostración de que es imposible hallar un
algoritmo capaz de distinguir entre los algoritmos que paran y los que no.
Obsérvese que se plantea aquí estudiar “algoritmos que operan sobre algoritmos,
vistos como datos”. Por extraño que parezca al principio, en Computación
se desarrollan frecuentemente programas que manejan otros programas con diversos
fines.
El problema de la parada no es computable
El problema de la parada, definido más arriba, se puede expresar como sigue:
¿se puede examinar cualquier algoritmo y decidir si para? Demostraremos que
no existe, ni puede existir, el algoritmo Stop que distinga si un algoritmo a para
cuando se aplica a los datos d.
Procederemos por reducción al absurdo: Suponiendo que existe ese algoritmo
(descrito más arriba como Stop), a partir de él es posible construir otro similar,
Stop’, que averigüe si un algoritmo a para cuando se aplica “a su propio texto”:
Stop’(p) = Stop(p, p) =
Sí si p(p) ↓
No si p(p) ↑