Algoritmos y Programación en Pascal

402 Capítulo 18. Complejidad algorítmica
portamiento de éstos con datos de un tamaño considerable, que es cuando los
costes de los distintos algoritmos pueden tener una diferenciación significativa.
Para entender mejor la importancia del orden de complejidad, resulta muy
ilustrativo observar cómo aumenta el tiempo de ejecución de algoritmos con
distintos órdenes. En todos ellos, n representa el tamaño de los datos y los
tiempos están expresados en segundos, considerando un computador que realiza
un millón de operaciones por segundo:
T (n) log n n n log n n 2 n 3 2 n n!
n
10 3.32 · 10 −6 10 −5 3.32 · 10 −5 10 −4 0.001 0.001024 3.6288
50 5.64 · 10 −6 5 · 10 −5 2.82 · 10 −4 0.0025 0.125 intratable intratable
100 6.64 · 10 −6 10 −4 6.64 · 10 −4 0.01 1 intratable intratable
10 3 10 −5 0.001 0.01 1 1000 intratable intratable
10 4 1.33 · 10 −5 0.01 0.133 100 10 6 intratable intratable
10 5 1.66 · 10 −5 0.1 1.66 10 4 intratable intratable intratable
10 6 2 · 10 −5 1 19.93 10 6 intratable intratable intratable
18.2 Medidas del comportamiento asintótico
18.2.1 Comportamiento asintótico
Como se ha visto en el apartado anterior, la complejidad en tiempo de un
algoritmo es una función T (n) del tamaño de entrada del algoritmo. Pues bien,
es el orden de dicha función (constante, logarítmica, lineal, exponencial, etc.) el
que expresa el comportamiento dominante para datos de gran tamaño, como se
ilustra en el ejemplo que se presenta a continuación.
Supóngase que se dispone de cuatro algoritmos para solucionar un determinado
problema, cuyas complejidades son respectivamente, lineal (8n), cuadrática
(2 n 2 ), logarítmica (20 log 2 n) y exponencial (e n ). En la figura 18.1 se puede
observar cómo sus tiempos relativos de ejecución no son excesivamente diferentes
para datos de un tamaño pequeño (entre 1 y 5).
Sin embargo, las gráficas de la figura 18.2 confirman que es realmente el orden
de la función de complejidad el que determina el comportamiento para tamaños
de entrada grandes, reteniendo únicamente la parte relevante de una función (de
coste) para datos de gran tamaño.
A la vista de esto, es evidente que el aspecto importante de la complejidad
de algoritmos es su comportamiento asintótico, ignorando otros detalles menores
por ser irrelevantes.
Para ello, es preciso formalizar el estudio del orden de complejidad mediante
medidas que ayuden a determinar el comportamiento asintótico del coste.