Algoritmos y Programación en Pascal

420 Capítulo 18. Complejidad algorítmica
siendo dn =
cn
(b1b2 . . . bn) .
Como ejemplo, se expone el caso particular que se obtiene cuando bn = b y
cn = c, es decir, xn+1 = bxn +c. En este caso se realiza el cambio xn = b n yn
y se tiene:
b n+1 yn+1 = b n+1 yn + c ⇒ yn+1 = yn + c
⇒ yn = y0 +
n
i=1
1 − bn
lo que conduce a xn = x0 + c .
(1 − b)bn
c
bi
1 − bn
= y0 + c
1 − b
b n+1
Estas recurrencias son de gran importancia por sí mismas, pero además, las
recurrencias generadas por sustracción y por división se reducen a ellas.
Recurrencias generadas por sustracción
Existen algoritmos que dan lugar a recurrencias de la forma
xn = Expr(n, xn−c)
conocido x0. Mediante el cambio de variable n = kc tenemos:
xn = Expr(n, xn−c)
= Expr(kc, xkc−c)
xkc = Expr(kc, x (k−1)c)
Si ahora llamamos a la sucesión xkc = yk, tenemos:
y0 = x0
yk = xkc
= Expr(kc, yk−1)
que es lineal de primer orden. Una vez resuelta, se tiene que
xn = y n/c
Recurrencias generadas por división
Otros algoritmos dan lugar a recurrencias de la forma siguiente:
xn = ...n...x n/c