Algoritmos y Programación en Pascal

456 Capítulo 20. Esquemas algorítmicos fundamentales
Ejemplo
Consideremos un grafo como el de la figura, organizado por fases, 4 y se plantea
el problema de averiguar el recorrido más corto entre a y z, conociendo las
longitudes de los arcos:
a
. . .
. . .
. . .
e
✘✘ ✘✘✘✘✘✿ ✟✯
b ✘✘✘ ✟
✟✟✟✟✟✟✟✟
c
f
✚
d
g
. . .
. . .
. . .
z
✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚❃
fase 0 fase i-1 fase i fase n
◗ ✲
◗◗◗◗◗◗◗◗◗◗
✘✘ ✘✘✘✘✘✿ ✘✘
✘✘
✲
El problema propuesto consiste en formar una secuencia de etapas, en cada
una de las cuales se opta por un arco que conduce a uno de los nodos de la
siguiente, accesible desde nuestro nodo actual, determinado por las etapas anteriores.
Si en la fase i-ésima se puede escoger entre los nodos E, F y G, el camino
más corto entre A y Z es el más corto entre los tres siguientes
ir desde a hasta e, e ir desde e hasta z
ir desde a hasta f, e ir desde f hasta z
ir desde a hasta g, e ir desde g hasta z
de manera que, una vez fijada una elección (por ejemplo E), las subsoluciones ir
desde A hasta E e ir desde E hasta Z componen la solución global. Esto es, se
verifica el principio de optimalidad de Bellman.
En resumen, el mejor trayecto entre los puntos P y Q (en fases no consecutivas
finic y ffin), se halla así:
Elegir una etapa intermedia i (por ejemplo, (finic + ffin) div 2)
(sean {o1, . . . , ok} los puntos en la etapa i-ésima)
Elegir O ∈ {o1, . . . , ok} tal que el recorrido MejorTray(P,O)
junto con MejorTray(O,Q) sea mínimo
La recursión termina cuando los nodos a enlazar están en etapas consecutivas,
existiendo un único tramo de P a Q (en cuyo caso se elige éste) o ninguno (en cuyo
4 Este tipo de grafos se llaman polietápicos.