Algoritmos y Programación en Pascal

10.4. Corrección de subprogramas recursivos 221
Supongamos ahora que para n − 1, es decir, para E = {x1, x2, . . . , xn−1} se
cumple que N = 2 n−1 y veamos si se puede demostrar que para n también se
tiene que N = 2 n .
Distribuyamos las partes de E = {x1, x2, . . . , xn} en dos clases: una con las
que no contienen al elemento xn, y otra con las que sí lo contienen. La hipótesis
de inducción expresa que la primera está constituida por 2 n−1 subconjuntos,
mientras que los subconjuntos de la segunda son los que resultan de la unión de
{xn} con cada uno de los subconjuntos de la primera clase. Por tanto, el número
total de subconjuntos es N = 2 n−1 + 2 n−1 = 2 n .
En consecuencia, aplicando el principio de inducción se puede afirmar que
para todo n ∈ IN se cumple que P(E) tiene 2 n elementos.
Aunque esta formalización del Principio de Inducción es suficiente para un
gran número de casos, en otros se puede requerir otra en la que tomamos como
hipótesis la verificación de la propiedad por todos los elementos menores que x:
Es decir,
• Si para cualquier x ∈ IN se tiene que, si todo y < x tiene la propiedad P ,
entonces x también tiene la propiedad P
• entonces todo z ∈ IN tiene la propiedad P
Disponemos ya de la herramienta necesaria para retomar la verificación de
nuestro subprograma recursivo. Recordemos que nos encontrábamos con el problema
de comprobar la corrección de una llamada al propio subprograma que
estamos verificando, lo cual nos hace entrar, aparentemente, en un ciclo sin fin.
La clave para salir de este ciclo es darnos cuenta de que, si la recursión está bien
definida, la llamada que intentamos verificar tiene como parámetro de llamada
un valor menor (o, en otras palabras, más cercano al caso base de la recursión).
Por ejemplo, en el caso de la función factorial, la estructura de selección que
controla la recursión es:
if num = 0 then
Fac:= 1
else
Fac:= num * Fac(num - 1)
En este punto es donde entra en juego el Principio de Inducción, ya que,
basándonos en él, si
1. el subprograma es correcto en el caso base (en nuestro caso es obvio que
Fac(0) = 1 = 0!), y