Algoritmos y Programación en Pascal

404 Capítulo 18. Complejidad algorítmica
Entre estas medidas destaca la notación O mayúscula, 3 la notación Ω y la
notación Θ.
18.2.2 Notación O mayúscula (una cota superior)
Definición: Sean f, g : Z + −→ IR + . Se dice que f ∈ O(g) o que f es del
orden de g si existen constantes n0 ∈ Z + y λ ∈ IR + tales que
f(n) ≤ λg(n) para todo n ≥ n0
Con la notación 4 f ∈ O(g) se expresa que la función f no crece más deprisa
que alguna función proporcional a g. Esto es, se acota superiormente el
comportamiento asintótico de una función salvo constantes de proporcionalidad.
Veamos algunos ejemplos:
• Para el algoritmo de búsqueda secuencial ordenada,
Tmáx(n) = k1n + k2 ∈ O(n)
(lo que se ve tomando cualquier λ > k1 y n0 > k2
λ−k1 ).
Para este mismo algoritmo se tiene además que Tmed(n) = c1n+c2 ∈ O(n),
y para el sumatorio recursivo se cumple que S(n) = n + 1 ∈ O(n).
• Todas las funciones de tiempo constante son O(1):
f(n) = k ∈ O(1)
lo que se ve tomando λ = k y cualquier n0 ∈ Z + . En este caso están
Tmín(n) = k para la búsqueda secuencial ordenada, y S(n) = 3 para el
sumatorio iterativo.
• 15n 2 ∈ O(n 2 )
Como esta notación expresa una cota superior, siempre es posible apuntar
alto a la hora de establecerla. Por ejemplo, se puede decir que los algoritmos
estudiados hasta ahora son O(n!). Naturalmente, esta imprecisión es perfectamente
inútil, por lo que se debe procurar que la función g sea lo más “próxima”
posible a f; es decir, se debe buscar una cota superior lo menor posible. Así, por
ejemplo, aunque (5n + 3) ∈ O(n 2 ), es más preciso decir que (5n + 3) ∈ O(n).
Para formalizar esta necesidad de precisión, se usan otras medidas del comportamiento
asintótico.
3Debido a que la expresión inglesa que se utiliza para esta notación es Big-Oh, también se
conoce como notación O grande.
4En lo sucesivo, emplearemos las dos notaciones f ∈ O(g) y f(n) ∈ O(g(n)) indistintamente,
según convenga.