Algoritmos y Programación en Pascal

406 Capítulo 18. Complejidad algorítmica
18.2.5 Propiedades de O, Ω y Θ
Entre las propiedades más importantes de la notaciones O mayúscula, Ω y Θ
cabe destacar las que se describen a continuación. En ellas se utiliza el símbolo
∆ si la propiedad es cierta para las tres notaciones, y se asume que
Reflexividad: f ∈ ∆(f).
f, g, f1, f2 : Z + −→ IR +
Escalabilidad: Si f ∈ ∆(g) entonces f ∈ ∆(k · g) para todo k ∈ IR + .
Una consecuencia de ello es que, si a, b > 1 se tiene que O(log a n) =
O(log b n). Por ello, no hace falta indicar la base: O(log n)
Transitividad: Si f ∈ ∆(g) y g ∈ ∆(h) se tiene que f ∈ ∆(h).
Simetría: Si f ∈ Θ(g) entonces g ∈ Θ(f)
(Obsérvese que las otras notaciones no son simétricas y trátese de dar un
contraejemplo.)
Regla de la suma: Si f1 ∈ O(g1) y f2 ∈ O(g2) entonces f1+f2 ∈ O (máx(g1, g2))
siendo máx(g1, g2)(n) = máx (g1(n), g2(n)).
Junto con la escalabilidad, esta regla se generaliza fácilmente así: si fi ∈
O(f) para todo i = 1, . . . k, entonces c1f1 + . . . + ckfk ∈ O(f).
Otra consecuencia útil es que si pk(n) es un polinomio de grado k, entonces
pk(n) ∈ O(n k ).
Regla del producto: Si f1 ∈ ∆(g1) y f2 ∈ ∆(g2) entonces f1 · f2 ∈ O(g1 · g2).
Una consecuencia de ello es que, si p < q, entonces O(n p ) ⊂ O(n q ).
Regla del sumatorio: Si f ∈ O(g) y la función g es creciente,
.
n
i=1
Una consecuencia útil es la siguiente:
n+1
f(i) ∈ O g(x) dx
1
n
i
i=1
k ∈ O(n k+1 ).
Estas propiedades no deben interpretarse como meras fórmulas desprovistas
de significado. Muy al contrario, expresan la idea de fondo de las medidas
asintóticas, que consiste en ver la parte relevante de una función de coste pensando
en datos de gran tamaño. Gracias a ello, podemos simplificar considerablemente
las funciones de coste sin peligro de pérdida de información (para datos
grandes, se entiende). Por ejemplo: