Algoritmos y Programación en Pascal

20.3. Programación dinámica 455
tiene un coste proporcional a b − a, al igual que su versión degenerada, donde
uno de los subproblemas es el trivial:
b
i =
i=a
1 si b < a
a ∗ b i=a+1 i e. o. c.
siendo por tanto preferible su versión iterativa conocida.
20.3 Programación dinámica
20.3.1 Problemas de programación dinámica
Consideremos un problema en el que se desea obtener el valor óptimo de
una función, y para ello se ha de completar una secuencia de etapas e1, . . . , en.
Supongamos que en la etapa ei se puede escoger entre las opciones o1, . . . , ok,
cada una de las cuales divide el problema en dos subproblemas más sencillos e
independientes:
e1, . . . , ei−1 y ei+1, . . . , en
Entonces, bastaría con resolver los k pares de subproblemas (uno por cada opción
para ei) y escoger el par que ofrece el mejor resultado (para la función por
optimizar).
Supongamos que la solución óptima se obtiene si ei = o:
e1, . . . , ei−1, ei = o, ei+1, . . . , en
Entonces, sus mitades anterior y posterior
e1, . . . , ei−1, o
o, ei+1, . . . , en
deben ser las soluciones óptimas a los subproblemas parciales planteados al fijar
la etapa i-ésima. Esta condición se conoce como el principio de optimalidad de
Bellman. Por ejemplo, si para ir desde el punto A hasta el punto C por el camino
más corto se pasa por el punto B, el camino mínimo desde A hasta C consiste
en la concatenación del camino mínimo desde A hasta B y el camino mínimo
desde B hasta C.
Por tanto, la resolución de estos problemas consiste en definir una secuencia
de etapas. Por otra parte, al fijar una etapa cualquiera se divide el problema
en dos problemas más sencillos (como en los algoritmos divide y vencerás), que
deben ser independientes entre sí. El principal inconveniente es que la elección
de una etapa requiere en principio tantear varios pares de subproblemas, con lo
que se dispara el coste de la resolución de estos problemas.