Algoritmos y Programación en Pascal

220 Capítulo 10. Introducción a la recursión
Asimismo, la verificación de las llamadas a subprogramas recursivos se hará
igual que en el resto de los subprogramas, estableciendo las precondiciones y
postcondiciones de éstas en base a las precondiciones y postcondiciones de los
subprogramas llamados.
Por otra parte estudiaremos la corrección de la definición del subprograma.
En esta tarea lo natural es plantearse el proceso de verificación (o corrección,
según el caso) habitual, es decir, especificar las precondiciones y postcondiciones
de cada una de las instrucciones implicadas, y en base a ellas y a su adecuado
encadenamiento demostrar la corrección. Pero en el caso de un subprograma
recursivo nos encontramos que, para al menos una de las instrucciones (aquélla
en la que aparece la llamada recursiva), no se tiene demostrada la corrección (de
hecho es esa corrección la que intentamos demostrar).
Para salir de este ciclo recurrimos a técnicas inductivas de demostración.
10.4.1 Principios de inducción
Informalmente, podemos decir que estos principios permiten afirmar una propiedad
para todo elemento de un conjunto (pre)ordenado, si se dan ciertas condiciones.
Así, si suponiendo el cumplimiento de la propiedad para los elementos
del conjunto menores que uno dado podemos demostrar la propiedad para el
elemento en cuestión, afirmaremos que todo elemento del conjunto verifica la
propiedad.
La formalización más simple y conocida del Principio de Inducción se hace
sobre el conjunto de los números naturales y es la siguiente:
Si tenemos que
Hipótesis de inducción: 0 cumple la propiedad P
Paso inductivo: Para todo x > 0, si x − 1 cumple la propiedad P , entonces x
cumple la propiedad P
Entonces
Para todo y ∈ IN, y cumple la propiedad P .
La relación entre inducción y recursión queda clara: la hipótesis de inducción
se corresponde con el caso base, y el paso inductivo con el caso recurrente.
Por ejemplo, este principio se puede aplicar para demostrar que el número
N de elementos del conjunto P(E), donde E representa un conjunto finito de n
elementos y P(E) es el conjunto de las partes de E, es 2 n .
Como caso base tenemos que para n = 0, es decir, para E = ∅, se tiene que
P(E) = ∅, y por tanto N = 1 = 2 0 .