Algoritmos y Programación en Pascal

18.4.
Útiles matemáticos 421
conocido x0. Mediante el cambio de variable n = c k tenemos:
xn = Expr(n, x n/c)
= Expr(c k , x c k /c)
x c k = Expr(c k , x c k−1)
Si ahora llamamos a la sucesión x c k = yk, tenemos:
y0 = x0
yk = x c k
= Expr(c k , yk−1)
que es lineal de primer orden. Una vez resuelta, se tiene que
xn = ylog c n
Como ejemplo de este tipo de recurrencias, considérese el coste del algoritmo
de ordenación por mezcla:
k1
si n = 1
T (n) =
2T ( n
2 ) + k2n + k3 si n > 1
Como su resolución sigue al pie de la letra el procedimiento descrito, se deja
como ejercicio al lector. La solución puede compararse con la ofrecida en 18.3.2.
18.4.3 Sucesiones de recurrencia de orden superior
Son las sucesiones generadas por subprogramas recursivos con más de una
llamada recursiva: 10
xn = f(xn1 , xn2 , . . . , xnk , n)
La resolución exacta de este tipo de recurrencias sobrepasa las pretensiones
de esta introducción a la complejidad algorítmica. Sin embargo, con frecuencia
es posible y suficiente acotar dicho coste. En efecto, es frecuente que la sucesión
xi sea creciente y que entre los tamaños de las llamadas subsidiarias se puedan
identificar el mínimo y el máximo y en general. Si llamamos xmín y xmáx
respectivamente a estos valores en la sucesión anterior, se tiene que
k
k
xmín + f(n) ≤ xn ≤
xmáx + f(n)
i=1
ai
Esta desigualdad nos da siempre las acotaciones Θ y O y, cuando coincidan
ambas, tendremos el orden Θ.
10 Las distintas llamadas son xni .
i=1
ai