Algoritmos y Programación en Pascal

416 Capítulo 18. Complejidad algorítmica
En este caso, el paso Dividir v en dos subvectores A y B consiste en:
Asignar a A el subvector [v1, . . . , vn div 2]
Asignar a B el subvector [vn div 2+1, . . . , vn]
mientras que Mezclar las ordenaciones de A y B consiste en ir entremezclando
adecuadamente las componentes ya ordenadas de A y de B para obtener el resultado
buscado.
El análisis de la complejidad de este algoritmo no es complicado. Partiendo de
que la operación de Mezclar las ordenaciones de A y B se ejecuta en un tiempo
proporcional a n (la longitud del vector por ordenar), el coste en tiempo del
algoritmo completo viene dado por la siguiente relación de recurrencia, donde ki
son cantidades constantes:
T (n) =
k1
si n = 1
2T ( n
2 ) + k2n + k3 si n > 1
En esta fórmula k1 representa el coste del caso trivial (v de tamaño 1); T (n/2)
es el coste de cada llamada recursiva, y k2n + k3 es el coste de mezclar los
subvectores A y B, ya ordenados.
Esta ecuación se resuelve mediante sustituciones sucesivas cuando n es una
potencia de 2 (es decir, existe j, tal que n = 2 j ), de la siguiente forma:
T (n) = 2(2T ( n n
) + k2
4 2 + k3) + k2n + k3
= 4T ( n
4 ) + 2k2n + k4
= 4(2T ( n n
) + k2
8 4 + k3) + 2k2n + k4
= . . .
= 2 j T (1) + jk2n + kj
= nk1 + k2nlog 2n + kj
Y en el caso en que n no sea una potencia de 2, siempre se verifica que existe
k > 0 tal que 2 k < n < 2 k+1 , y, por tanto, se tiene que T (n) ≤ T (2 k+1 ). En
consecuencia, se puede afirmar que, en todo caso, T (n) ∈ O(nlog 2n).
Esta conclusión indica que Merge Sort es un algoritmo de ordenación con
una complejidad en tiempo óptima 9 en el peor caso, aunque no es tan bueno en
cuanto a la complejidad en espacio, ya que es necesario mantener dos copias del
vector. Existen versiones mejoradas de este algoritmo que tienen menor coste en
espacio, pero su estudio excede a las pretensiones de este texto.
9 Hay que recordar que esta complejidad es óptima bajo la notación O-grande, esto es, salvo
constantes de proporcionalidad.