Algoritmos y Programación en Pascal

412 Capítulo 18. Complejidad algorítmica
Como el primer bucle for se repite n veces y el segundo m veces, y puesto que
el resto de las instrucciones son asignaciones (con tiempo de ejecución constante),
se deduce que el algoritmo tiene una complejidad en tiempo T (n, m) ∈ O(nm).
Para mejorar el algoritmo, se podría utilizar un único bucle, atendiendo al
siguiente diseño:
prod:= 0
repetir n veces
prod:= prod + m
Este diseño también se implementa fácilmente en Pascal mediante una función:
function Producto2(n, m: integer): integer;
{PreC.: n,m ≥ 0}
{Dev. n×m}
var
i,prod: integer;
begin
prod:= 0;
for i:= 1 to n do
prod:= prod + m;
Producto2:= prod
end; {Producto2}
Se obtiene así un código cuya complejidad es, claramente, O(n).
Este algoritmo se puede mejorar ligeramente si se controla que el bucle se
repita n veces si n ≤ m, o m veces si m ≤ n. La implementación de esta mejora
se deja como ejercicio al lector.
Es posible conseguir una complejidad aún menor utilizando el algoritmo conocido
con el nombre de multiplicación a la rusa. 6 El método consiste en multiplicar
uno de los términos por dos mientras que el otro se divide por dos (división
entera) hasta llegar a obtener un uno. El resultado se obtendrá sumando aquellos
valores que se han multiplicado por dos tales que su correspondiente término
dividido por dos sea un número impar. Por ejemplo, al realizar la multiplicación
a la rusa de 25 × 11, se obtiene la siguiente tabla de ejecución:
25 11 ∗
50 5 ∗
100 2
200 1 ∗
6 Curiosamente, muchos autores dicen que este algoritmo es el que utilizaban los romanos para
multiplicar.