Algoritmos y Programación en Pascal

422 Capítulo 18. Complejidad algorítmica
Ejemplo: sucesión de Fibonacci
En su definición recursiva usual, esta función tiene un coste dado por la
siguiente relación de recurrencia:
tn = k1 si k = 0 o k = 1
tn = xn−1 + xn−2 + k2 si k ≥ 0
Como t es creciente, podemos acotarla entre f y g, así:
fn = k1 si k = 0 o k = 1
fn = 2fn−2 + k2 si k ≥ 0
gn = k1 si k = 0 o k = 1
gn = 2gn−1 + k2 si k ≥ 0
Estas dos relaciones de recurrencia son lineales, y se resuelven fácilmente:
fn ∈ Θ(2 n/2 )gn ∈ Θ(2 n )
por lo que podemos concluir que la función analizada tiene un coste en tiempo
exponencial tn = k n , para una constante k sin determinar, entre √ 2 y 2.
18.5 Ejercicios
1. Considere las siguientes funciones (dependientes de n) de cara a estudiar su comportamiento
asintótico:
Se pide lo siguiente:
n2 + 103n + 106 n √ n log10 n
(5n2 + 3)(3n + 2)(n + 1) log √ √
n n + log n
2 n ( 1
2 )n 2 1/n
3n 2nn2 loge n
n i=1
1
n 1000
i
n i=1 n n i i=1 j=1 n
(n+1)(n2−n+5) n(3+n2 )
(a) Para cada una de ellas, busque una función sencilla que acote superiormente
su comportamiento asintótico, (usando para ello la notación O mayúscula)
procurando ajustarse lo más posible.
(b) Clasifique las funciones anteriores según sean O(2 n ), O(n 4 ), O( √ n), O(log n)
ó O(1).
(c) Agrupe las funciones del ejercicio anterior que sean del mismo orden Θ.
2. Compare las funciones siguientes por su orden de complejidad:
log log n √ log n (log n) 2 4√ n