NIEUWE BLIK OP KIP EN KNIK - Bouwen met Staal

B 1 Literatuurverkenning
Deze vergelijking is analytisch niet op te lossen. Wel is, ten koste van veel rekenwerk, een
numerieke oplossing mogelijk door ϕ te beschouwen als een machtreeks van p:
188
ϕ
ϕ
2
= a+ bp+ cp
3 4
+ dp + ep
5 6
+ fp + gp
7
+ hp + ......
2
'' = 2c+ 2 ⋅ 3 d. p+ 3⋅ 4ep 3 4
+ 4 ⋅ 5 fp + 5⋅ 6gp 5
+ 6 ⋅ 7 hp + ......
wat gecombineerd wordt tot één reeks met termen in p:
( ) ( ) ( )
( 6 7h 2 5
K d) p ( 7 8 i
2 6
K e) p ..... 0
2c 2 3dp 3 4e K a p 4 5f K b p 5 6g
K c p
2 2 2 3 2 4
+ ⋅ + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + +
+ ⋅ + + ⋅ + + =
Aan de d.v. wordt voldaan als bij elke macht van p het resultaat nul is, dus:
c= d = 0
2 2
Ka+ 34 ⋅ e= 0dus e=−Ka/34 ⋅
2
Kb+ 4⋅ 5f= 0 dus
2
f=−Kb/4⋅5 2
Ke+ 7⋅ 8i= 0
2 4
dus i=−Ke/7⋅ 8 =+ Ka/3⋅4⋅7⋅8
2
K f + 89 ⋅ j = 0dus
2
j =−K f
4
/89 ⋅ =+ K b/4589
⋅ ⋅ ⋅ enz.
De oplossing is dan:
ϕ = a+ bp+ + + ep + fp + ip + jp + =
0 0
4 5 8 9
.....
2
Ka 4
2
Kb 5
4
Ka 8
4
Kb 9
= a+ bp− p − p + p + p + ..... =
3⋅4 4⋅5 3⋅4⋅7⋅8 4⋅5⋅8⋅9 2 2 2 2
( Kp ) ( Kp ) ( Kp ) ( Kp )
2 4 2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= a⎜1 − + + ... ⎟+ bp⎜−
1 + + ... ⎟
⎜ 3⋅4 3⋅4⋅7⋅8 ⎟ ⎜ 4⋅5 4⋅5⋅8⋅9 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Afhankelijk van de randvoorwaarden is dit verder op te lossen.
Voor een uitkraging geldt bij het staafeind (waar F aangrijpt): x = L, p = 0, M t = 0, ϕ' = 0
Hieraan kan alleen worden voldaan als: b = 0. Bij de inklemming geldt: x = 0, p = L, ϕ = 0,
Er moet dus een waarde voor Kp 2 = KL 2 gevonden worden waarvoor geldt:
2 2 2 2
( KL ) ( KL ) ( KL ) ( KL )
2 4 6 8
⎛ ⎞
ϕ0
= a⎜1
− + − + + ... ⎟=
0
⎜ 3⋅4 3⋅4⋅7⋅83⋅4⋅7⋅8⋅11⋅12 3⋅4⋅7⋅8⋅11⋅12 ⋅15⋅16 ⎟
⎝ ⎠