NIEUWE BLIK OP KIP EN KNIK - Bouwen met Staal

B 3 Torsiestijfheid
Exacte waarden kunnen desgewenst worden ontleend aan tabellen zoals [44].
Daarmee wordt het totale torsiemoment in relatie met de rotatie geschreven als:
M = GI ϕ'+ K ϕ'− EI ϕ'''
t tor w w
2 EI w
1
Met: β = (wat in de literatuur soms voorkomt als: ) wordt dit:
2
GI
λ
t
⎛ Kw EI ⎞ ⎛ w Kw
2 ϕ ''' ⎞
Mt = GItor⎜ϕ'+ ϕ'− ϕ'''⎟= GItorϕ'⎜1+
−β
⎟
⎝ GItor GItor ⎠ ⎝ GItor
ϕ ' ⎠
(B3.12)
(B3.13)
Als de rotatie ϕ bekend is kan hieruit via eenmaal, respectievelijk driemaal differentiëren het
torsiemoment met de welvingscomponent worden berekend. Het omgekeerde is (behalve bij
een sinus- en/of cosinusvormig verloop) wiskundig analytisch veel lastiger.
Voor een tweezijdig opgelegde staaf met een sinus-vormig rotatieverloop geldt bijvoorbeeld:
sin waaruit volgt: , en:
x
3
π
π πx
π πx
ϕ = ϕ
ϕ'= ϕ cos ϕ''' =− ϕ cos 3
L
L L L L
3 3
++ bCbxbCbx ..cosh. 7
( ) ( )
( ) 8.sinh.
( )
++ bCbxbCbx 7..cosh...sinh. 8 − 2
twCDe
relatie tussen torsiemoment en torsie wordt dan:
2 2
⎛ K w β π ⎞
⎜ 2 ⎟
GItor L
Mt = GItorϕ'1+
+
⎝ ⎠
2
ϕ''' π
2
ϕ ' L
=−
(B3.14a)
Dit betekent dus dat bij dezelfde rotatie en bij normaaltrekkracht en verhinderde welving een
groter moment kan worden opgenomen en omgekeerd, dat bij hetzelfde moment de rotatie
minder wordt. Omdat bij de hier bedoelde stabiliteitsgevallen steeds wordt uitgegaan van
axiale drukkrachten, die een vermindering van de torsiestijfheid geven, is de invloed van de
'Wagner'coëfficiënt negatief en wordt de effectieve in rekening te brengen torsiestijfheid
geschreven met een vergrotingsfactor:
2 2
K w βπ
1+ + = 1−
C + C
2
GI L
tor
tF tw
Vooral de factor C tw is van grote invloed zoals uit het vervolg zal blijken.
C
tw
βπ π EI
= =
2 2 2
2
L
w
2
L GItor
(B3.14b)
(B3.15)
243