NIEUWE BLIK OP KIP EN KNIK - Bouwen met Staal

B 3 Torsiestijfheid
B3.3.1 Staaf op twee steunpunten met gaffelopleggingen
a. Constant moment M t
Hier geldt voor de Mt-lijn: km1 = 1 en:
M t kϕ
2 =
GI
km2 = km3 = 0,
waaruit volgt: en: k ϕ5 = k ϕ6 = 0
tor
Uit de randvoorwaarden volgt: k = k = a ϕ1 ϕ4 2k / b ϕ6 2 = 0 en:
dus:
k + bk ϕ2 ϕ3cosh (0,5bL2) + bkϕ4sinh(0,5bL2) - ak = 0 ϕ6
kϕ 2 + 0−0 M t 1
kϕ
3 =− =−
bcosh 0,5bL GI bcosh 0,5bL
( ) ( )
2 tor
2
Deze constanten worden ingevuld in de vergelijking van de rotatie-lijn:
ϕ = k x+ k bx respectievelijk: ϕ = k ( L− x) + k bx (B3.26)
links 2 3 sinh
ϕ ϕ
rechts 2 3 sinh
ϕ ϕ
L2
GItor
π
Uit (B3.14), (B3.15) en (B3.22) volgt: bL2 = = L2
=
(B3.27)
β EI C
zodat:
⎛ π x ⎞
⎜ sinh
C t 2
tw L
⎟
ML x
2
ϕlinks
= ⎜ −
⎟
GI ⎜ tor L π π ⎟
2
⎜ cosh
Ctw 2 C
⎟
⎝ tw ⎠
Voor ϕ rechts geldt dezelfde formule met (L 2-x) in plaats van x.
w tw
(B3.28)
Voor enkele waarden van C tw is het verloop van de rotatie ϕ getekend in figuur B3.4-links.
Figuur B3.4-rechts toont de maximale rotatie in het midden van de staaf.
ϕ
Te zien is dat zonder enige welvingsstijfheid het rotatieverloop nagenoeg evenredig is met de
afstand tot de steunpunten, met een discontinuïteit in het midden van de staaf, waar het
torsiemoment wisselt van teken.
Bij toenemende welvingsstijfheid gaan de rotaties in de linker- en de rechter staafhelft
gelijkmatiger in elkaar over en treedt er een aanzienlijke vermindering op van de rotatie.
249