Reduction and Elimination in Philosophy and the Sciences

Zu Carnaps Definition von ‘Zurückführbarkeit’
Roland Kastler, München, Deutschland
In den Principia Mathematica versuchen Whitehead und
Russell (Whitehead, Russell 1957 2 ) die Begriffe der
Mathematik in jene der Logik (Typenlogik bzw. Logik plus
Klassentheorie)einzubetten. Rudolf Carnap erweiterte das
Anwendungsgebiet der in den Principia Mathematica
eingeführten Methode der logischen Konstruktionen,
indem er in seinem Werk Der logische Aufbau der Welt
(Carnap 1966 3 ) die Grundzüge eines Projektes darstellt,
welches die Begriffe der Welt auf unmittelbar Gegebenes
zurückzuführen intendiert. Die von Carnap entwickelte
Konstitutionstheorie nimmt dabei nicht nur im allgemeinen
Bezug auf Russell und Whitehead, und zwar in dem Sinne,
in dem Carnap sich beispielsweise dem Phänomenalismus
Ernst Machs verpflichtet fühlt (Vgl. Carnap 1993, 29.),
sondern er formuliert bezüglich der „Principia“, daß jene
‘ein „Konstitutionssystem“ der mathematischen Begriffe’
darstellen (Vgl. Carnap 1966, 47f.).
Gegen Carnaps Konstitutionstheorie wurden nun
innerhalb der Literatur eine Vielzahl von Argumenten
vorgebracht, wobei insbesondere auch seine Definition
von ‚Reduktion’ bzw. ‚Zurückführbarkeit’ im Mittelpunkt der
Kritik stand. Bevor aber auf das prominenteste dieser
Argumente gegen sein Reduktionskonzept eingegangen
werden soll, seien vorerst Beispiele für konstitutionale
Definitionen aus der „Principia“ und dem „Aufbau“
angeführt:
(K1) 0 =Def {∅}, 1 =Def {α | ∃x (α={x})}, 2 =Def {α | ∃x∃y (x ≠ y ∧ α={x,y})}
μ+ν={ζ | ∃α∃β (μ∈nc ∧ ν∈nc ∧ α∈μ ∧ β∈ν ∧ α∩β=∅ ∧ ζ=α∪β)}
(K2) gesicht =Def {α | ∃λ(λ∈sinn ∧ Dzp( 5, λ, α, Umgr’Aq))}
(K1) gibt also die Definition von Zahlausdrücken sowie des
additiven Funktionszeichens an, wobei ‘nc’ die Klasse aller
Kardinalzahlen bezeichnet. Es ist hier die vereinfachte
Carnapsche Version der „Principia“ dargestellt (Vgl. Carnap
1929, 52.), welche aber die zugrundeliegende Idee
präzise widerspiegelt (Vgl. zur „Principia-Version“: Russell,
Whitehead 1957, Vol. II, 72.). In (K2) wird der Gesichtssinn
als diejenige Sinnesklasse von Qualitäten bestimmt, deren
Ordnung der Qualitäten in Bezug auf die durch Aq bestimmte
Umgebungsrelation die Dimensionszahl 5 hat
(Vgl. Carnap 1966, 155.).
Russell formuliert zur oben angegebenen Definition
an anderer Stelle, dass aufgrund dieser Definition die Zahl
2 die Klasse aller Paare ist (Vgl. Russell 1975, 29.). Eine
der entscheidenden Fragen, welche sich in Bezug auf
Carnaps Begriff der Zurückführbarkeit stellen wird, ist jene,
ob wir die konstitutionalen Definitionen so interpretieren
müssen, wie sie jene Äußerung von Russell - welche hier
natürlich völlig aus dem Zusammenhang gerissen
präsentiert wird - nahezulegen scheint.
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Carnap definiert zunächst folgendermaßen:
Unter einer „konstitutionalen Definition“ des Begriffes
a auf Grund der Begriffe b, c verstehen wir eine
Übersetzungsregel, die allgemein angibt, wie jede
Aussagefunktion, in der a vorkommt, verwandelt
werden kann in eine umfangsgleiche Aussagefunktion,
in der nicht mehr a, sondern nur noch b, c vorkommen.
(Carnap 1966, 47.)
Und in engem Zusammenhang zum Begriff der konstitutionalen
Definition steht jener der Zurückführbarkeit:
Gibt es zu jeder Aussagefunktion ausschließlich über
die Gegenstände a, b, c,... (wobei b, c ... auch
fehlen dürfen) eine umfangsgleiche Aussagefunktion
ausschließlich über b, c ..., so heißt a „zurückführbar“
auf b, c, ...
[...] Unter einer Aussage oder Aussagefunktion
„ausschließlich über die Gegenstände a, b ...“ verstehen
wir eine solche, in deren schriftlichem Ausdruck
als nichtlogische Zeichen nur „a“, „b“, ... vorkommen
(Carnap 1966, 47.).
Gegen einen derartigen Reduktionsbegriff könnte man
einwenden, dass extensionale Identität nicht das Kriterium
sein kann, da ja beispielsweise Zahlprädikate innerhalb
einer Zahlentheorie auf Zahlen zutreffen und nicht auf
Mengen genauso wie Mengenprädikate innerhalb einer
Mengentheorie auf Mengen zutreffen und nicht auf Zahlen,
weshalb es zu keinem Zahlprädikat ein umfangsgleiches
Mengenprädikat geben kann.
Es gilt hier also zunächst zu prüfen, ob die obige
Reduktionsdefinition überhaupt derart interpretiert werden
kann.
Carnap arbeitet bereits 1928 am zweiten Teil zu den
Untersuchungen zur allgemeinen Axiomatik (Vgl. Bonk,
Mosterin 2000, 47.), in welchen es u. a. um eine
Formulierung von Extremalaxiomen in der Objektsprache
geht. Ein Beispiel für ein Extremalaxiom wäre innerhalb
des Hilbertschen Axiomensystems der euklidischen
Geometrie das sogenannte Vollständigkeitsaxiom. Dieses
behauptet, dass die Grundgegenstände des Axiomensystems
bei Aufrechterhaltung sämtlicher anderer Axiome
nicht erweitert werden können (Vgl. Carnap 1936, 166f.).
Wir können demnach festhalten, dass für Carnap Theorien
zunächst Satzmengen darstellen, welche sich auf einen
Gegenstandsbereich beziehen. Im Abriß der Logistik
formuliert Carnap u. a., wie er das Konstitutionssystem der
„Principia“ mittels des Explizitbegriffes eines (mathematischen)
Axiomensystems zu erweitern versucht. Er
stellt dies u. a. am Beispiel des Hausdorffschen Axiomensystems
dar, welches als Klasse der Hausdorffschen
Umgebungssysteme einen rein logischen Begriff darstellt
(Vgl. Carnap 1929, 76ff.). Eine derartige Formulierung
kann aber nun in der Sprache des „Aufbaus“ als eine
„Zurückführung von mathematischen auf logische
Gegenstände“ betrachtet werden. Nehmen wir nun also
an, die Relata der Zurückführbarkeitsrelation beziehen
sich auf die Gegenstandsbereiche zweier verschiedener
Theorien. Da Carnap zu jener Zeit, in welcher der „Aufbau“
ausgearbeitet wurde, Theorien immer in der typenlogischen
Sprache formuliert (Vgl. Carnap 1929, 70 – 90.),
setzen wir dementsprechend zusätzlich voraus, dass
unsere fraglichen Theorien in einer Typenlogik gegeben
sind. Und aufgrund der Tatsache, dass insbesondere dem
Problem der Reduzierbarkeit von Grundgegenständen der
einen Theorie auf Gegenstände der anderen Theorie
besondere Relevanz zukommt, da eine derartige Reduktion
eines der wesentlichen Ziele eines konstruktionalen
Systems darstellt, soll die Frage an diesem
Spezialfall verdeutlicht werden.