Reduction and Elimination in Philosophy and the Sciences

Die Nichtreduzierbarkeit der klassischen Physik auf quantentheoretische Grundbegriffe — Helmut Fink
stellung gäbe. Das Superpositionsprinzip für die Zustandsvektoren
reiner Quantensysteme verhindert dies aber.
Tatsächlich kann man zeigen, dass die Annahme einer
Unkenntnisinterpretation für die Wahrscheinlichkeitsverteilung
der Zeigerstellungen (d.h. eine Zeigerstellung liegt
objektiv vor und ist nur nicht bekannt) mit der Gesamtbeschreibung
unverträglich ist (Mittelstaedt 1998).
Die traditionelle Kopenhagener Reaktion bestand in
der Konstruktion der Neumannschen Kette, d.h. iteriertes
Ankoppeln weiterer Teile der Umgebung ggf. bis zum Gehirn
des Beobachters, und im Postulat des Heisenbergschen
Schnitts, d.h. klassische Beschreibung ab einem
(nicht genau festgelegten!) Glied dieser Kette. Das Phänomen
der Dekohärenz (Joos et al. ²2003) verspricht ein
Verständnis des “Klassischwerdens” durch Berücksichtigung
der physikalischen Umgebung. Doch der Widerspruch
zwischen der linearen Vektorraumstruktur des
quantenmechanischen Zustandsraums und der Eindeutigkeit
der klassischen Messergebnisse bleibt bestehen. Das
Messproblem der Quantentheorie ist ungelöst. Es wurde
zum Ausgangspunkt hypothetischer Alternativen für die
Zeitentwicklung von Quantenzuständen und bizarrer Interpretationsvorschläge.
Wir diskutieren sie hier nicht.
3 Quantentheorie im Phasenraum
Die allermeisten makroskopischen Systeme können im
Rahmen der klassischen Physik sehr gut beschrieben
werden, auch wenn sie aus Quantensystemen bestehen.
Historisch waren Begriffe der klassischen Physik im Bohrschen
Korrespondenzprinzip wegweisend beim Aufbau der
Quantentheorie. Die grundlegenden theoretischen Strukturen
von klassischer und Quantenphysik sind zwar nicht
gleich, aber auch nicht völlig verschieden.
Der Zustandsraum der klassischen Physik ist der
2n-dimensionale Phasenraum P, wobei n die Anzahl der
Freiheitsgrade des betrachteten Systems bezeichnet. Neben
die (verallgemeinerten) Orte treten die (verallgemeinerten)
Impulse als kanonisch konjugierte Variablen. Zustände
sind Wahrscheinlichkeitsdichten w auf P, reine
Zustände entsprechen Phasenraumpunkten. Observablen
a sind reelle Phasenraumfunktionen. Erwartungswerte
sind Phasenraumintegrale der Observablen, gewichtet mit
einem Zustand. Die Zeitableitung eines Zustands ist durch
seine Poissonklammer {. , .} mit der Hamiltonfunktion gegeben.
Darin stecken die Hamilton-Gleichungen der klassischen
Mechanik.
Der Zustandsraum der Quantentheorie ist der (für
die meisten Systeme unendlich-dimensionale) Hilbertraum
H. Reine Zustände sind Vektoren der Länge 1 in H, allgemeine
Zustände W sind positive Operatoren mit Spur 1.
Observablen sind selbstadjungierte Operatoren A, deren
reelles Spektrum die Menge der möglichen Messergebnisse
beschreibt. Erwartungswerte sind von der Form
Spur(WA). Die Zeitableitung eines Zustands ist durch seinen
Kommutator [. , .] mit dem Hamiltonoperator gegeben.
Darin steckt die Schrödinger-Gleichung.
Die Betrachtung von Spezial- oder Grenzfallbeziehungen
zwischen zwei physikalischen Theorien setzt die
Formulierung beider in gemeinsamen Grundbegriffen voraus.
Vergleichbarkeit verhindert Inkommensurabilität. Zur
Untersuchung der Beziehung zwischen klassischer und
Quantentheorie erscheint es sinnvoll, die mathematischen
Grundbegriffe der Quantentheorie auf die historisch vertrauteren
Phasenraumobjekte abzubilden. Dabei muss die
innere Struktur der Quantentheorie erhalten bleiben. Der
Phasenraum wird dann zur gemeinsamen formalen Arena
von klassischer und Quantentheorie.
Die bekannteste “Übersetzung” dieser Art (Phasenraum-Darstellung)
ist die Weyl-Wigner-Abbildung. Generell
sind alle Vorschriften interessant, die Hilbertraum-
Operatoren W bzw. A linear auf Phasenraumfunktionen w
bzw. a abbilden, so dass die Erwartungswerte Spur(WA)
zu Phasenraumintegralen über wa werden. Dabei können
nicht gleichzeitig folgende drei Bedingungen erfüllt sein
(Wigner-Theorem):
(i) Linearität der Darstellung
(ii) Positivität der Darstellung, d.h. aus W positiv
folgt w positiv
(iii) Randdichtentreue: Integration von w über Impuls
bzw. Ort liefert dieselbe Wahrscheinlichkeitsdichte
für Ort bzw. Impuls wie W.
In der Tat verfehlt die Weyl-Wigner-Abbildung Eigenschaft
(ii): Wigner-Dichten können negativ werden. Es gibt unendlich
viele lineare Phasenraum-Darstellungen der Quantentheorie,
von denen manche (ii) und manche (iii) verfehlen.
Das aus W gewonnene w kann aber nie als gemeinsame
Wahrscheinlichkeitsdichte von Ort und Impuls des
Quantensystems interpretiert werden: Erzwingt man die
Positivität, so zeigt w dafür Verschmierungen (“Unschärfen”)
im Phasenraum. Kein Wunder: Die Quantentheorie
erlaubt keine gleichzeitige Zuschreibung von Orts- und
Impulswerten und keine klassischen Bahnen.
Linearität der Darstellung und Strukturerhaltung der
Erwartungswertbildung haben zur Folge, dass Operatorprodukte
AB nicht einfach auf Funktionenprodukte ab abgebildet
werden können. Auch ist die Phasenraum-
Darstellung des Kommutators [A,B] im allgemeinen nicht
durch die Poissonklammer {a,b} gegeben, sondern im Fall
der Weyl-Wigner-Darstellung durch die Moyalklammer,
und in anderen Fällen durch entsprechende Verallgemeinerungen
der Moyalklammer. Die Zeitentwicklung quantenmechanischer
Systeme im Phasenraum weicht daher
von der klassischen Zeitentwicklung ab.
4 Der klassische Limes: Brücke oder
Grenze?
Quanteneffekte machen sich (mindestens) überall dort
bemerkbar, wo die relevanten Wirkungen in die Größenordnung
des Planckschen Wirkungsquantums h-quer
kommen. Diese Naturkonstante kennzeichnet den Anwendungsbereich
der Quantentheorie. Im Vergleich zu hinreichend
großen Wirkungen erscheint sie vernachlässigbar
klein. Man erwartet in solchen Fällen die Konvergenz
quantentheoretischer Voraussagen, etwa Werteverteilungen
geeigneter Messgrößen, gegen die Voraussagen der
klassischen (statistischen) Mechanik. Formal wird dabei
der Limes h-quer gegen Null gebildet (klassischer Limes).
Das gelingt für viele physikalisch interessante Situationen
(Scheibe 1999).
Theorienreduktion heißt aber mehr: Struktur und Interpretation
der gesamten reduzierten Theorie sollen in der
reduzierenden aufgehen. Im klassischen Limes sollte die
Quantentheorie insgesamt in die klassische Theorie übergehen.
Und in der Tat verschwinden Kommutatoren [A,B]
inkompatibler Quantenobservablen für h-quer gegen Null,
die Struktur der Observablenmenge wird kommutativ, also
klassisch. Die optimistische Meta-Induktion, gestützt durch
das Parallelbeispiel des nicht-relativistischen Limes,
scheint Recht zu behalten.
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