Artículos JEIN 2012 Vol 1 - SICyT - Universidad Tecnológica Nacional

Artículos de las Jornadas de Enseñanza de laIngenieria________________________________________________________________________________________________________________________________existencia de los puntos en que se alcanzaun extremo: basta que el punto P 0 nopertenezca a Q 2 para que resulte fuera delalcance del Mathlet (en realidad, bastaríaque no se halle en un subconjunto menor deQ 2 : el de los pares ordenados norepresentables por los k decimales delregistro simbólico visible).Tampoco resulta el mathlet suficiente pararesolver el problema de la detección de lospuntos en los que cabría buscar losextremos; como se observa en la Figura 2,el Mathlet necesita establecer previamentelos cuatro números xMin, XMax, yMin,yMax que definen la región R ≝ {(x, y)R 2 : xMin x xMax, yMin y yMax}de búsqueda de la solución. Peroprecisamente, ese es uno de los objetivos dela teoría que se procura enseñar, laacotación de la búsqueda de soluciones alproblema de extremos restringidos. Porejemplo, sea el problema trivial de hallar elpunto donde el campo f: R 2 R tal que f(x,y) = x 2 + y 2 , sujeto a x + y = , alcanza unmínimo (cuya interpretación geométricaevidente es la de hallar el punto P 0 de larecta de ecuación x + y = más próximo alorigen de coordenadas), y cuya solucióninmediata es P 0 = ½ (, ). Basta plantear elproblema con < , con menor que elpoder de resolución de ambos registros (o > 2M con M cualquier número mayor queel ancho máximo de la ventana gráfica) paraque tal punto no sea alcanzable por ningúnensayo sobre el mathlet.Las conocidas hipótesis para las que vale elprocedimiento simulado por el mathletincluyen la regularidad de las funciones f yg junto a la no anulación del g en el puntoen que se alcanza el extremo (Courant &John, 1974, pág. 332). Claramente no secumplen esas hipótesis con un problemacomo el de maximizar el campo escalar f:R 2 R tal que f(x, y) = x 2 + y 2 , sujeto a larestricción |x| + |y| = 1. El problema,geométricamente equivalente al de hallarlos puntos del perímetro del cuadradoABCB más alejados del origen del sistemade coordenadas, con A = (1, 0), B = (0, 1),C = (1, 0), D = (0, 1). La soluciónevidente viene dada por los cuatro vérticesA, B, C, D, en ninguno de los cuales severifican las hipótesis del resultado deLagrange pues las condiciones sonsuficientes, no necesarias (Courant & John,1974, pág. 332). El mathlet aquí no estáaquí en condiciones de producir unarespuesta, puesto que ninguno de losvértices el campo escalar g: R 2 R tal queg(x, y) = |x| + |y| es diferenciable.Si el problema anterior escapa al mathletpor la pérdida de regularidad del campoescalar g, el siguiente lo hace por anularseel gradiente de g en el punto solución. Setrata de minimizar f: R 2 R tal que f(x, y) =x 2 + y 2 , sujeto a la restricción (x1) 3 y 2 =0, con solución en el punto cuspidal P 0 = (1,0) (Courant & John, 1974, pág. 335), perocon g (P 0 ) = (0, 0).Figura 5. Mathlet 2 del MIT (registro gráfico)Ahora considérese el Mathlet 2, en el que sepresenta la circulación de un campovectorial f a lo largo de una curva orientadaC parametrizada por una función vectorial ___________________________________________________________________________________________________________________________Año 2, Volumen 1, 2012 114