Artículos JEIN 2012 Vol 1 - SICyT - Universidad Tecnológica Nacional

Artículos de las Jornadas de Enseñanza de la Ingenieria___________________________________________________________________________________________________________________________a) Vamos a exigir que la probabilidad detener una señal en el intervalo pequeñode tiempo de longitud t sea directamenteproporcional a la longitud del intervalo.Sea un proceso estocástico definido por X t0 tb) La probabilidad de tener más de unaseñal durante el intervalo de tiempo t esε(t) ( es decir tiende a cero cuandot 0 ); . Si este proceso verifica las condiciones:primera, segunda y tercera (a y b) y además se cumple que P ( X0 0) 1 (es decir laprobabilidad de tener 0 punto en el intervalo 0 es 1) este proceso es un proceso homogéneodiscreto de Poisson y responde a la siguiente función de probabilidad:tie ( t)( i 0,1,2...)P(Xt i) Pi( t)i!( 0)Demostración: La probabilidad de tener i puntos en el intervalo de tiempo ampliado (t+Δt), sepuede pensar, por ser un proceso a incrementos homogéneos e independientes (es decircumpliéndose las condiciones primera y segunda) en la siguiente forma:P ( t t) P ( t).P ( t)0P ( t t) P ( t).P ( t) Pii000i1( t).P ( t) P1i2( t).P ( t) ............. P ( t).P ( t)Escribiremos P ( ) y P ( ) en otra forma P ( t) t ( )0t1tPr ( no tener más de una señal en21t t )= P ( t) P ( ) P ( t) ( t)10 1tDonde ( t)es un infinitésimo de orden superior a t k2De donde: P t)1P ( t)( t)1t ( t) ( ) 0( 1tLuego P0 ( t)1 t (t)La demostración la haremos primero para i 0P t t) P ( t)P ( t) P ( t) 1 t( )P0( 0 00t0( t t) P0( t) P0( t)t P0( t)(t)0( t t) P0( t)(t) P0( t) P0( t).P tk0iik0Pik( t) P ( t)tt'Aplicando límite para t 0 , tendremos: P0 ( t) P0( t)Una ecuación diferencial lineal de primer orden, a partir de la cual, resolviéndola, obtendremos''P0( t)P0( t)nuestra incógnita P0 ( t): dt P ( t) dt ln P 0( t) t CP ( t)0CLuego: P0 ( t) e 1 luego C=0…Volviendo a la primera identidad00P ( t) et0Veremos que pasa para i 1, 2k___________________________________________________________________________________________________________________________Año 2, Volumen 1, 2012 128