ArtÃculos JEIN 2012 Vol 1 - SICyT - Universidad TecnolÃ³gica Nacional

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Artículos de las Jornadas de Enseñanza de laIngenieria________________________________________________________________________________________________________________________________existencia de los puntos en que se alcanzaun extremo: basta que el punto P 0 nopertenezca a Q 2 para que resulte fuera delalcance del Mathlet (en realidad, bastaríaque no se halle en un subconjunto menor deQ 2 : el de los pares ordenados norepresentables por los k decimales delregistro simbólico visible).Tampoco resulta el mathlet suficiente pararesolver el problema de la detección de lospuntos en los que cabría buscar losextremos; como se observa en la Figura 2,el Mathlet necesita establecer previamentelos cuatro números xMin, XMax, yMin,yMax que definen la región R ≝ {(x, y)R 2 : xMin x xMax, yMin y yMax}de búsqueda de la solución. Peroprecisamente, ese es uno de los objetivos dela teoría que se procura enseñar, laacotación de la búsqueda de soluciones alproblema de extremos restringidos. Porejemplo, sea el problema trivial de hallar elpunto donde el campo f: R 2 R tal que f(x,y) = x 2 + y 2 , sujeto a x + y = , alcanza unmínimo (cuya interpretación geométricaevidente es la de hallar el punto P 0 de larecta de ecuación x + y = más próximo alorigen de coordenadas), y cuya solucióninmediata es P 0 = ½ (, ). Basta plantear elproblema con < , con menor que elpoder de resolución de ambos registros (o > 2M con M cualquier número mayor queel ancho máximo de la ventana gráfica) paraque tal punto no sea alcanzable por ningúnensayo sobre el mathlet.Las conocidas hipótesis para las que vale elprocedimiento simulado por el mathletincluyen la regularidad de las funciones f yg junto a la no anulación del g en el puntoen que se alcanza el extremo (Courant &John, 1974, pág. 332). Claramente no secumplen esas hipótesis con un problemacomo el de maximizar el campo escalar f:R 2 R tal que f(x, y) = x 2 + y 2 , sujeto a larestricción |x| + |y| = 1. El problema,geométricamente equivalente al de hallarlos puntos del perímetro del cuadradoABCB más alejados del origen del sistemade coordenadas, con A = (1, 0), B = (0, 1),C = (1, 0), D = (0, 1). La soluciónevidente viene dada por los cuatro vérticesA, B, C, D, en ninguno de los cuales severifican las hipótesis del resultado deLagrange pues las condiciones sonsuficientes, no necesarias (Courant & John,1974, pág. 332). El mathlet aquí no estáaquí en condiciones de producir unarespuesta, puesto que ninguno de losvértices el campo escalar g: R 2 R tal queg(x, y) = |x| + |y| es diferenciable.Si el problema anterior escapa al mathletpor la pérdida de regularidad del campoescalar g, el siguiente lo hace por anularseel gradiente de g en el punto solución. Setrata de minimizar f: R 2 R tal que f(x, y) =x 2 + y 2 , sujeto a la restricción (x1) 3 y 2 =0, con solución en el punto cuspidal P 0 = (1,0) (Courant & John, 1974, pág. 335), perocon g (P 0 ) = (0, 0).Figura 5. Mathlet 2 del MIT (registro gráfico)Ahora considérese el Mathlet 2, en el que sepresenta la circulación de un campovectorial f a lo largo de una curva orientadaC parametrizada por una función vectorial ___________________________________________________________________________________________________________________________Año 2, Volumen 1, 2012 114
Artículos de las Jornadas de Enseñanza de laIngenieria________________________________________________________________________________________________________________________________(esto es C = Im()), cuyo registro gráfico seobserva en la Figura 3.Nuevamente, la interactividad del objetodigital es muy elevada y la transmisión de lainformación entre los dos registros es casiinstantánea, además de estar resuelta en unlenguaje muy expresivo a través de lacorrespondencia de dimensiones gráficascomo colores y espesores.Figura 6. Mathlet 2 del MIT (registro simbólico)Las figuras muestran cómo se sitúa elcampo f: R 2 R 2 tal que f (x, y) = (x, x + y)al recorrer la elipse orientada Cparametrizada por : [0, 2)R 2 tal que (t)= (3 cos(t), 2 sen(t)). La elipse se indica encolor celeste, mientras que el campo enamarillo. El valor mismo de la circulaciónpuede leerse en el panel de control. En esteejemplo, del teorema de Green (Aman &Escher, 2008, pág. 281ss.; Curtis, 1979,págs. 419-428; Flanigan & Kazdan, 1975,págs. 392-402; Hoffman, 1975, pág. 160ss;Santaló, 1993, pág. 157ss) se concluye quela circulación coincide numéricamente conel área del interior de la elipse, esto es 6,que es lo que aproximadamente informa elmathlet (le es imposible devolver el valor6 puesto que solo le son accesiblescontados números racionales). Es sencilloplantear una variante que no sea registrablepor el mathlet: la circulación de f (x, y) =(x, x + y) será informada como nulasiempre que se escoja tal que 6 < 10 3 ,dado que solo dos cifras decimales sonregistradas. O también puede considerarseel problema de calcular la circulación de f(x, y) = (16x 2 + 81y 2 ) ½ (9y, 4x), quesiendo el versor tangente a la curva C,representa la longitud de la elipse y es; la respuesta delmathlet no permite sospechar, al que lo estámanipulando, que se trata de una integralelíptica, de la que respuesta es unaaproximación, ahora en un sentido esencial.Para el análisis del Mathlet 3 (de losautores) considérese ahora un problema delcálculo de variaciones (Elsgoltz, 1977,págs. 289, 324, 390; Bildhauer, 2003;Gelfand & Fomin, 1963, págs. 3, 39, 42-46,48; Krasnov, Makarenko, & Kisielov, 1992,págs. 106-111; Troutman, 1996, págs. 23,289). Se trata de probar que, entre todos lostriángulos de base y perímetro fijo, el deárea máxima es isósceles.Figura 7. Mathlet 3 de los autores (registro gráfico)Si bien el problema consiste en maximizarun funcional sujeto a dos restricciones, elmathlet 3 es creado por el autor para tenerun enfoque geométrico interactivo delproblema. Si los vértices de la base fija ABse hacen coincidir con los focos de unaelipse, su misma definición permite deducirque todos los triángulos cuyo tercer vértice___________________________________________________________________________________________________________________________Año 2, Volumen 1, 2012 115
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