statistique, théorie et gestion de portefeuille - Docs at ISFA

14 Introduction
pour espérer se couvrir contre ce type de risques en ayant recours notamment aux produits dérivés, pour
autant qu’ils soient capables de fournir une réelle assurance contre les grandes variations de cours - ce
qui fût loin d’être le cas lors du krach de 1987 - ou peut-être avoir recours à la mutualisation comme en
assurance par exemple.
Le problème du contrôle des risques extrêmes en finance et plus particulièrement son application à la gestion
de portefeuille peuvent sembler totalement étrangers au domaine de la physique. Cela n’est cependant
qu’une apparence puisque dès ses premiers pas, la finance a partagé avec la physique, la devançant
même parfois, de nombreuses méthodes et outils telle la marche aléatoire brownienne (Bachelier 1900,
Einstein 1905), l’utilisation de la notion de probabilité subjective qui permet de rendre compte du comportement
des agents économiques dans l’incertain (Savage 1954) mais aussi d’interpréter des expériences
de mécanique quantique (Caves, Fluchs et Schack 2002), ou encore la notion de compromis moyennevariance
en théorie du portefeuille Markovitz (1959) comme en algorithmique quantique (Maurer 2001),
ainsi que l’équation de diffusion de la chaleur qui sert également à décrire l’évolution du prix d’une
option dans l’univers de Black et Scholes (1973), et plus récemment l’utilisation de modèles d’agents en
interactions (variante du modèle d’Ising par exemple) permettant de dépasser le cadre standard de l’agent
économique représentatif et ainsi de mieux percevoir les mécanismes fondamentaux à l’oeuvre sur les
marchés financiers.
C’est donc dans les méthodes, mais aussi dans les concepts, qu’il faut chercher un lien entre des matières
en apparence si différentes que la finance et la physique. En effet, la mesure du risque fait appel à des
notions de théorie de l’information, de la décision et du contrôle dynamique qui ont une longue tradition
en physique, quant à la gestion de portefeuille, de manière un peu schématique, on peut affirmer que
ce n’est rien d’autre qu’un exemple particulier de problème d’optimisation sous contraintes, comme
on en rencontre dans de nombreux domaines. En cela, d’un point de vue purement mathématique, la
recherche de portefeuilles optimaux n’est guère différente de la recherche des états d’équilibres d’un
système thermodynamique. En effet, dans le premier cas, on cherche à obtenir une valeur minimale du
risque associé aux variations de richesse du portefeuille pour une valeur fixée du rendement moyen et
un montant de la richesse initiale donnée. Dans le second cas, on cherche - pour ce qui est de l’étude de
l’ensemble micro-canonique - à maximiser l’entropie (ou minimiser la néguentropie) du système sous
la contrainte d’une énergie totale et d’un nombre de particules fixé. On peut donc, formellement, faire
un parallèle (certes un peu rapide) entre risque et néguentropie, rendement espéré et énergie totale et
richesse initiale et nombre de particules.
Ceci étant, le parallèle s’arrête malheureusement là et l’on ne peut espérer d’une application simple
et directe de certains résultats généraux de la thermodynamique statistique ou de mécanique quantique
qu’elle nous permette d’obtenir d’intéressants enseignements pour la gestion de portefeuille. La distinction
essentielle entre ces deux problèmes d’optimisation que sont la gestion de portefeuille et la physique
statistique vient en fait de la différence entre les ordres de grandeur en jeu dans ces deux situations : les
plus gros portefeuilles contiennent au maximum quelques milliers d’actifs alors que les systèmes thermodynamiques
auxquels nous sommes usuellement confrontés sont constitués de quelques cent milles
milliards de milliards (NA 10 23 ) de particules. Pour un tel nombre de particules, le théorème de la
limite centrale s’applique pleinement, y compris pour des événements de très faibles probabilités, et fournit
une simplification fort utile. De plus, vu le nombre gigantesque d’entités considérées, les fluctuations
relatives typiques des grandeurs mesurées par rapport à leurs valeurs moyennes (espérées) sont de l’ordre
de 1/ √ NA ∼ 10 −11 − 10 −12 , ce qui les rend tout à fait imperceptibles.
Les choses sont toutes autres pour ce qui est de la gestion de portefeuille, où il convient de caractériser
avec rigueur la distribution de rendement dudit portefeuille. En effet, du fait du nombre le plus souvent
modéré d’actifs qui constituent un portefeuille et de par la structure sous-jacente des distributions de
chacun des actifs, la distribution de rendement du portefeuille s’avère très éloignée de la distribution