statistique, théorie et gestion de portefeuille - Docs at ISFA

Chapitre 11
Portefeuilles optimaux et équilibre de
marché
On doit à Markovitz (1959) la première formalisation mathématique de la gestion de portefeuille. Celle-ci
est basée sur la nécessité d’accepter un compromis entre l’obtention d’un rendement espéré le plus élevé
possible et d’une quantité de risques encourus la plus faible possible, ce qui conduit tout naturellement
à s’intéresser aux portefeuilles dits optimaux, c’est-à-dire les portefeuilles tels que pour un niveau de
risque donné et un jeu de contraintes à satisfaire - telle que l’absence de vente à découvert, par exemple
- il n’existe pas de portefeuilles de rendement supérieur au rendement du portefeuille optimal. La courbe
représentant l’ensemble des portefeuilles optimaux dans le plan risque / rendement définit la frontière
efficiente au-dessus de laquelle aucun couple risque / rendement ne peut être atteint.
Dans l’approche initiale de Markovitz (1959), le risque est mesuré par la variance (ou déviation standard)
du rendement des actifs. Cela revient à admettre soit que leur distribution (multivariée) est gaussienne
- puisque c’est le seul cas où la variance caractérise complètement les fluctuations des actifs - soit que
la fonction d’utilité des agents est quadratique, auquel cas les décisions des agents ne sont régies que
par les deux premiers moments de la distribution des actifs. Moyennant ces hypothèses, il est possible
de dériver analytiquement la composition des portefeuilles efficients en fonction du seul vecteur des
rendements espérés des actifs et de leur matrice de covariance (Elton et Gruber 1995, par exemple).
Cependant, il est désormais bien admis que la variance ne saurait suffire à quantifier convenablement les
risques puisqu’elle ne rend compte que des petites fluctuations du rendement des actifs autour de leur
valeur moyenne, négligeant ainsi totalement les grands risques dont l’impact est généralement le plus
conséquent. Aussi, est-il important de se tourner vers d’autres mesures de risques ou d’autres critères
d’optimisation.
L’une des premières alternatives proposées à l’analyse moyenne-variance a été de considérer les portefeuilles
dont la moyenne non pas arithmétique mais géométrique des rendements est la plus grande,
car ce sont eux qui ont la probabilité la plus élevée de dépasser un niveau donné de rentabilité, quelque
soit l’intervalle de temps considéré (Brieman 1960, Hakansson 1971, Roll 1973). Cette approche n’est
cependant compatible avec la théorie de la décision que pour des fonctions d’utilité logarithmiques. Une
seconde alternative, dite “Safety First”, consiste à mettre l’accent sur les pertes qu’encourt le portefeuille.
De nombreux critères ont vu le jour, tel le critère de Roy (1952) qui consiste à minimiser la probabilité
de subir une perte supérieure à une valeur prédéterminée, ou encore les critères de Kataoka ou de Telser
(voir Elton et Gruber (1995)) qui sont en fait très proches de critères d’optimisation sous contrainte de
VaR. De manière générale, toute optimisation sous contrainte de capital économique et donc utilisant notamment
les mesures de risques cohérentes s’apparente à cette approche. Enfin, une troisième alternative
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