statistique, théorie et gestion de portefeuille - Docs at ISFA

5.4. Conséquences des phénomènes d’imitation et d’antagonisme... 155
des anciennes qu’elles finissent par remplacer.
Les modèles de minorité, introduits par Challet et Zhang (1997), procède d’une toute autre approche.
Considèrons N agents en compétition pour une ressource limitée et dont les choix se résument à deux
alternatives mutuellement exclusives, que l’on pourra noter 0 ou 1. Chaque agent effectue un choix, et les
gagnants sont ceux qui sont en minorité (on peut reconnaître ici le célèbre problème du bar d’El Farol introduit
par Arthur (1994)). Un tel modèle est pertinent dans un contexte financier, car un agent qui décide
de vendre, par exemple, ne va empocher un bénéfice que si la majorité des autres agents sont acheteurs,
de sorte que l’excès de demande soit positif et que le prix augmente (voir Challet, Chessa, Marsili et
Zhang (2001) pour une discussion de l’application des jeux de minorité aux marchés financiers).
Concrètement, le jeu est répété un grand nombre de fois, si bien que chaque agent dispose de la même
information : la succession des décisions minoritaires, soit une séquence de 0 et de 1. En supposant que
les agents ne disposent que d’une mémoire de taille limitée m, tous les agents connaissent donc les m
derniers choix gagnants. Une séquence de longueur m représente donc l’histoire des événements et il y
a évidemment 2m histoires possibles. Chaque agent établit des stratégies visant à prédire l’état futur du
système en se fondant sur l’histoire passée. Il existe donc en tout 22m stratégies. Tous les agents possèdent
un même nombre de stratégies, ces stratégies étant différentes d’un agent à l’autre. Cette approche permet
de rendre compte de l’extraordinaire diversité des acteurs économiques présents sur les marchés
réels. En effet, ceux-ci ont des objectifs différents, aussi bien en terme de gains espérés que d’horizon
d’investissements mais aussi d’aversion au risque et présentent donc des stratégies extrêmement variées.
Les résultats fournis par ce type de modèles sont satisfaisants dans la mesure où ils permettent de rendre
compte des distributions de rendement en loi de puissance et de la lente décroissance de la corrélation de
la volatilité lorsque le rapport m/N est voisin d’une certaine valeur critique. Cependant, comme relevé
récemment par Andersen et Sornette (2002b) et Giardina et Bouchaud (2002), le principe de minorité
n’est pas toujours le plus réaliste. En effet, un agent a intérêt à se trouver dans la minorité lorsqu’un
renversement de tendance est observé sur les prix, mais lorsque la tendance se poursuit, il faut être dans
la majorité pour profiter de celle-ci. Dans le cadre de ce modèle, la trajectoire de la richesse des agents
est notablement différente de celle observée dans les jeux de minorités standards, mais ce type de modèle
rend tout aussi bien compte des distributions de rendement à queue épaisse que de la corrélation à longue
portée de la volatilité.
5.4 Conséquences des phénomènes d’imitation et d’antagonisme sur la
forme de la trajectoire des prix d’un actif.
Tous les modèles microscopiques que nous avons décrits jusqu’à présent permettent de rendre compte
de la distribution des rendements ainsi que de la corrélation à longue portée de la volatilité, qui sont les
faits stylisés les plus marquants observés au sujet des rentabilités boursières. Pour autant, aucun de ces
modèles n’est capable d’expliquer la croissance super-exponentielle des prix que l’on observe lorsqu’une
bulle spéculative se développe.
Afin de pouvoir modéliser ce phénomène, il convient de comprendre ce que recouvre une croissance
super-exponentielle du prix d’un actif. Lorsque le rendement d’un actif est constant, son prix augmente
naturellement de façon exponentielle, puisque l’actualisation est un processus multiplicatif. Une croissance
super-exponentielle traduit donc le fait que le rendement de l’actif considéré augmente au fur et
à mesure que son prix lui-même augmente. Un mécanisme possible est le suivant : lorsqu’une tendance
haussière suffisamment forte apparaît, le nombre d’agents acheteurs augmente, attiré par la promesse de
gains importants, ce qui en retour intensifie la tendance du fait de la forte pression acheteuse, validant du