statistique, théorie et gestion de portefeuille - Docs at ISFA

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378 12. Gestion des risques grands et extrêmes librage du coefficient de dépendance de queue et les grandes pertes réalisées entre les années 1962 et 2000 pour des actions principales et de grands indices de marché. Conditionné à un grand mouvement du marché, on peut ainsi déduire la probabilité que tel ou tel actif subisse une perte du même ordre. Nature multidimensionnelle des risques Le Graal est de conjuguer la description des distributions marginales sous-exponentielles avec les dépendances inter-actifs non-gaussiennes et idéalement les dépendances temporelles intermittentes amenant les grandes pertes pour établir un portefeuille optimal. Le problème est alors que la notion d’“optimalité” n’est pas évidente à définir en pratique : si la théorie économique nous dit de maximiser la fonction d’utilité de l’investisseur, en réalité nous ne la connaissons pas avec précision. Le problème se complique par les multiples dimensions du risque introduites par la nature non-gaussienne des distributions de rendement et des dépendances . Dans une série d’articles, nous avons développé une théorie du portefeuille reposant sur la caractérisation des risques par les cumulants de la distribution des rendements du portefeuille. Les cumulants, notés cn, s’expriment comme des combinaisons de moments, et quantifient notamment l’écart à la gaussienne. De même que les moments, les cumulants n’existent pas tous pour les distributions Parétiennes mais sont définis à tout ordre pour les distributions exponentielles étirées. En particulier, les cumulants d’ordres un et deux sont respectivement la moyenne et la variance des rendements, tandis que les cumulants d’ordre trois et quatre (après normalisation par l’écart type) permettent de définir la skewness et la kurtosis. De façon générale, les cumulants d’ordres pairs quantifient des risques d’autant plus grands que l’ordre du cumulant considéré est élevé, tandis que les cumulants d’ordres impairs caractérisent la dissymétrie entre les queues positives et négatives de la distribution des rendements. Plus l’ordre n du cumulant cn considéré est grand, plus celui-ci accorde d’importance aux événements extrêmes. L’ordre n des cumulants allant de 1 à l’infini, varier n revient à étaler ou développer toutes les dimensions du risque : les “petits” risques quantifiés par c2 et les “grands” risques quantifiés par c4 et les cumulants d’ordres plus élevés. Notre théorie du portefeuille utilise les distributions marginales de la famille des exponentielles étirées et la dépendance entre actif est décrite par la copule gaussienne. Si on souhaite créer un portefeuille qui évite les grands risques, on choisit le poids des actifs de telle manière que les cumulants c4, c6, c8, etc. soient tous proches de leur minimum, tout en laissant libre la variance c2 (petits risques). Cette approche est très différente de l’approche standard de Markowitz qui se focalise sur c2 et de plus construit une frontière efficiente dans l’espace (rendement-variance). Petits risques, grands risques et rendement Pour illustrer l’impact de la décomposition des risques en “petits” et “grands” risques, considérons le cas simple d’un portefeuille avec seulement deux actifs : l’action Chevron et la devise malaise : le Ringgit. Ces deux actifs ont des caractéristiques très différentes et illustrent admirablement un effet surprenant a priori. La figure 1a montre le rendement quotidien d’un portefeuille dont la proportion w1, investie dans l’action Chevron, a été obtenue en minimisant la variance. La figure 1b donne la solution de la minimisation de cn vis-à-vis du poids w1. Les lignes des points horizontaux sont les valeurs maximales du rendement quotidien dans le cas où l’on optimise c2n, pour n>1. Les rendements quotidiens pour le portefeuille de la figure 1b surpassent ces limites, i.e. le portefeuille de la figure 1a subit plus de fluctuations de grandes amplitudes.Ces deux figures illustrent clairement le fait que minimiser des petits risques peut faire augmenter les grands risques ! De plus, le gain cumulatif de la figure 1c montre que le portefeuille de la figure 1b voit son
12.1. Comprendre et gérer les risques grands et extrêmes 379 gain s’accroître considérablement par rapport au portefeuille standard à la Markovitz. Autrement dit “on peut avoir le beurre et l’argent du beurre” : diminuer les grands risques et augmenter le profit ! Rendements quotidiens annualisés (en pourcentage) et gain cumulé pour les deux portefeuilles correspondants au minimum de la variance (poids Chevron w1 = 0,095) et au minimum des cumulants c2n, d’ordre 2n > 2 (poids Chevron w1 = 0,38). Rendement quotiedien Rendement quotiedien Richesse cummulée 10 ¤ 20 20 10 0 ¤ 20 10 ¤ 20 10 0 £ 6 ¦ 4 ¤ 2 0 0 0 0 ¡ 1000 2000 3000 ¤ 1000 2000 ¡ 3000 ¡ 1000 2000 3000 Le mécanisme de cet effet remarquable est simple : le Ringgit malais contribue le plus au cumulant d’ordres élevés (grands risques) et a de plus un rendement très faible par rapport à celui de Chevron. Par contre, sa distribution étroite dans la zone des petits rendements lui donne une faible variance. L’optimisation à la Markowitz mettra donc plus de poids sur le Ringgit qui semble apporter une diversification intéressante du point de vue de la variance. Mais cela est une illusion dangereuse, car le risque réel du Ringgit est beaucoup plus grand que ne le fait croire sa variance. Le cumulant c4, par exemple, le quantifie clairement et sa minimisation conduit en conséquence à réduire le poids de la devise malaisienne dans le porte- ¥ w1=0.095 w1=0.38 ¢ 4000 5000 ¦ 4000 ¢ 5000 ¢ 4000 5000 £ 6000 £ 6000 w1=0.38 w1=0.095 £ 6000 7000 § 7000 7000 feuille. Du coup, les grands risques sont réduits. Comme le Ringgit n’a que peu de rendement, on gagne alors sur les deux tableaux car alors le rendement augmente nettement. Bibliographie Andersen, J. V. and D. Sornette (2001) Have your cake and eat it too : increasing returns while lowering large risks ! Journal of Risk Finance 2 (3), 70-82. Embrechts P., C. Klüppelberg et T. Mikosch (1997), Modelling Extremal Events for Insurance (a) (b) (c)
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UNIVERSITE DE NICE-SOPHIA ANTIPOLIS
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4 Table des matières 2.2.2 Bulles
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6 Table des matières 7.3.2 Tests n
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8 Table des matières 12.1.1 Distri
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10 Table des matières Références
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12 m’ont souvent été d’un gra
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14 Introduction pour espérer se co
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16 Introduction les distributions e
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Chapitre 1 Faits stylisés des rent
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1.1. Rappel des faits stylisés 23
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1.2. De la difficulté de représen
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1.3. Modélisation des propriétés
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Chapitre 2 Modèles phénoménologi
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2.1. Bulles rationnelles multi-dime
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2.2. Des bulles rationnelles aux kr
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Chapitre 3 Distributions exponentie
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Empirical Distributions of Log-Retu
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concerning tail fatness can be form
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To fit our two data sets, section 4
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properties, stressing the problems
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Another problem lies in the determi
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In order to obtain a process with S
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and Sornette (1999) for instance. W
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1. The Pareto distribution: 79 Fu(x
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empirical analog FN(x), estimated f
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have been chosen to converge to 1 a
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5 Comparison of the descriptive pow
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ased on the fact that the quantity
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tail (positive or negative) of the
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Equation (46) depends on c only and
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B Minimum Anderson-Darling Estimato
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C Local exponent In this Appendix,
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D Testing non-nested hypotheses wit
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where α = (c ∗ ,d ∗ ). It can
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where E0[·] denotes the expectatio
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References Andersen, J.V. and D. So
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Gouriéroux C. and A. Monfort, 1994
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Rubinstein, M., 1973, The fundament
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(a) Independent Data Stretched-Expo
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(a) Dow Jones Positive Tail Negativ
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Nasdaq Dow Jones Pos. Tail Neg. Tai
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Dow Jones positive tail Dow Jones n
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Variation coefficient Variation coe
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Mean excess function Mean excess fu
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Hill‘s estimate b u Hill‘s esti
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Wilks statistic (doubled log−like
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Tail 1−F(x) and parameter b Tail
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1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 2 3 4
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Chapitre 4 Relaxation de la volatil
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Volatility Fingerprints of Large Sh
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2 Long-range memory and distinction
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Figure 2: Measuring the conditional
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the system to the accumulation of m
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Appendix C: “Conditional response
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Baillie, R.T., 1996, Long memory pr
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Chapitre 5 Approche comportementale
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Chapitre 6 Comportements mimétique
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RESEARCH PAPER Q UANTITATIVE F INAN
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A Corcos et al Q UANTITATIVE F INAN
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Deuxième partie Etude des proprié
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182 7. Etude de la dépendance à l
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238 9. Mesure de la dépendance ext
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Page 421 and 422: ln(T/T 0 ) T Figure 2: Logarithm
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The variance of the return X of an
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This property is verified for all c
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µn=α of order n = 2, 4, 6 and 8.
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these two assets or portfolios. The
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Due to the homogeneity property of
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invested in the risky fund depends
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C. Then, if g1(X1), · · · , gn(X
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Differentiating with respect to x1,
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7.2 Transformation of the modified
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In the sequel, we will first evalua
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8.3 Non-symmetric assets In the cas
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y the variance will then increase).
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A Description of the data set We ha
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thus and finally 1 λ1 n−1 = w
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C Composition of the market portfol
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D Generalized capital asset princin
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This brings us back to the problem
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F.2 General case We now consider a
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Harvey, C.R. and A. Siddique, 2000,
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µ µ2 1/2 µ4 1/4 µ6 1/6 µ8 1/8
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Mean (10 −3 ) Variance (10 −3 )
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μ (daily return) x 10−3 2.5 2 1.
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w i w i 0.2 0.15 0.1 0.05 Mean−μ
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Empirical Cumulative Distribution 1
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Z 2 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0
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10 0 10 −1 10 0 10 −1 10 −1 1
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κ 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 Exc
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Return μ 0.12 0.11 0.1 0.09 0.08 0
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Conclusions et Perspectives L’obj
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Conclusion 493 en univers gaussien
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Annexe A Evaluation de la conduite
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A.2. Eléments de contexte 497 bora
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A.4. Compétences acquises et ensei
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A.5. Conclusion 501 de la recherche
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Bibliographie ACERBI, C. (2002) :
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Bibliographie 505 BOUCHAUD, J. P. E
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Bibliographie 507 DE FINETTI, B. (1
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Bibliographie 509 GRANGER, C. W. ET
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Bibliographie 511 LILLO, F. ET R. N
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Bibliographie 513 PATTON, A. (2001)
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Bibliographie 515 SUSMEL, R. (1996)
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